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【2019最新】高中数学第二章*面向量2-1*面向量的实际背景及基本概念成长训练

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【2019 最新】高中数学第二章*面向量 2-1 *面向量的实际背景及

基本概念成长训练

主动成长

夯基达标

1.下列关于向量的说法中正确的是( )

A.长度相等的两向量必相等

B.两向量相等,其长度不一定相等

C.向量的大小与有向线段起点无关

D.向量的大小与有向线段起点有关

解析:长度相等,方向不同的向量并不是相等向量,故 A 错;两向量相等,必有两向量的长

度相等,故 B 错;向量的大小与有向线段的起点并无关系,故 D 错.

答案:C

2.在下列命题中,正确的是( )

A.若|a|>|b|,则 a>b

B.若|a|=|b|,则 a=b

C.若 a=b,则 a 与 b 共线

D.若 a≠b,则 a 一定不与 b 共线

解析:因为向量是既有大小又有方向的量,两个向量间不能比较大小,因此,A 不正确.两个

向量的模相等,但方向却不一定相同,因此 B 不正确.相等的向量方向一定相同,相等向量

一定共线,因此 C 正确.对于选项 D,两个向量不相等,可能是长度不同,方向可以相同或

相反,所以 a 与 b 有共线的可能,故 D 不正确.

答案:C

3.关于向量的说法有以下几个:

①向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等;
②向量 a 与向量 b *行,则 a 与 b 的方向相同或相反; ③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同; ④两个有共同终点的向量,一定是共线向量;

⑤向量 AB 与向量 CD 是共线向量,则点 A、B、C、D 必在同一条直线上;

⑥有向线段就是向量,向量就是有向线段.

其中,说法错误的个数是( )

A.2

B.3

C.4

D.5

解析:①说法正确;②不正确,若 a、b 中有一个为零向量时,其方向不确定;③正确;④不正

确,终点相同并不能说明两向量的方向相同或相反;⑤不正确,共线向量所在的直线可以重

合,也可以*行;⑥不正确,向量可以用有向线段来表示,但向量并不是有向线段.

答案:C

4.已知下列三个位移:飞机向南飞行 50 km;飞机向西飞行 50 km;飞机向东飞行 50 km.下

列判断中正确的是( )

A.这三个位移相等,且这三个位移的长度也相等

B.这三个位移不相等,但这三个位移的长度相等

C.这三个位移不相等,且这三个位移的长度也不相等

D.以上都不正确

解析:由于位移是向量,题中所给的三个位移方向均不相同,但其大小是相同的.

答案:B

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5.四边形 ABCD 中, AB =2 DC ,则四边形 ABCD 为( )

A.*行四边形

B.矩形

C.梯形

D.菱形

解析:∵ AB =2 DC ,∴ AB ∥ DC 且| AB |=2| DC |.故四边形为梯形.
答案:C 6.如图 2-1-7 所示,C、D 是线段 AB 的三等分点,分别以图中各点作为起点和终点的非零且 不相等的向量有个.( )

图 2-1-7

A.3

B.6

C.8

D.12

解析:1 个单位长度的向量有 AC , CA , CD , DC , DB , BD 6 个.

2 个单位长度的向量有 AD , DA , CB , BC 4 个.

3 个单位长度的向量有 AB , BA 2 个.

因此,共 6+4+2=12 个,但其中 AC = CD = DB , BD = DC = CA , AD = CB , BC = DA ,
因此互不相等的向量最多只有 6 个. 答案:B 7.如图 2-1-8,在菱形 ABCD 中,可以用同一条有向线段的向量是( )

图 2-1-8

A. DA 与 BC

B. DC 与 AB

C. DC 与 BC

D. DC 与 DA

解析:本题即判断选项中的两个向量是否相等.由相等向量的概念知,只要两向量的大小、方

向都相同,即可说明两向量相等.A 中的 DA 与 BC 大小虽相同,但方向不一致,故 A 错.B

中的 DC 与 AB 大小、方向都相同,故是相等向量.C 中的 DC 与 BC 向量方向不相同,D

中的 DC 与 DA 方向也不相同,故 D、C 皆错.
答案:B

8.设 O 为△ABC 的外心,则 AO 、 BO 、 CO 是( )

A.相等向量

B.*行向量

C.模相等的向量

D.起点相同的向



解析:△ABC 的外心,即△ABC 的外接圆的圆心,它到 A、B、C 三点的距离相等,即有

| AO |=| BO |=| CO |.

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答案:C 9.给出以下 4 个条件:①a=b;②|a|=|b|;③a 与 b 方向相反;④|a|=0 或|b|=0.其中能使 a∥b 成立的条件是______________. 解析:|a|=|b|并不能一定推出 a∥b .其余选项均可以. 答案:①③④
10.⊙O 的周长是 2π ,AB 是⊙O 的直径,C 是圆周上一点,∠BAC= ? ,CD⊥AB 于 D,这时 6
| CD |=______________.
解析:△ABC 为直角三角形,且∠BAC=30°,∠ACB=90°,AB=2.∴BC=1, AC= 3 .∴CD= 3 , 2
即| CD |= 3 . 2
答案: 3 2
11.已知飞机从甲地按北偏东 30°的方向飞行 2 000 km 到达乙地,再从乙地按南偏东 30°
的方向飞行 2 000 km 到达丙地,再从丙地按西南方向飞行 1 000 2 km 到达丁地,问丁地
在甲地的什么方向?丁地距甲地多远? 解析:如图所示,A、B、C、D 分别表示甲地、乙地、丙地、丁地,依题意知,三角形 ABC 为 正三角形, ∴AC=2 000 km.
又∵∠ACD=45°,CD=1000 2 ,
∴△ACD 为直角三角形,即 AD =1000 2 km,∠CAD=45°. 答:丁地在甲地的东南方向,距甲地1000 2 km.
12.一位模型赛车手摇控一辆赛车向正东方向前进 1 m,逆时针方向转变 α 度,继续按直线 向前行进 1 m,再逆时针方向转变 α 度,按直线向前行进 1 m,按此方向继续操作下去. (1)按 1∶100 比例作图说明当 α =45°时,操作几次时赛车的位移为零? (2)按此法操作使赛车能回到出发点,α 应满足什么条件?请写出其中两个. 解析:(1)如图,操作 8 次赛车的位移为零;
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(2)要使赛车能到出发点,只需赛车的位移为零,按(1)的方式作图,则所作图形是内角 为 180°-α 的正多边形,故有 n(180°-α )=(n-2)180°.
∴n= 360? ,n 为不小于 3 的整数. ?
如 α =30°,则 n=12,即操作 12 次可回到起点. 又如 α =15°,则 n=24,即操作 24 次可回到起点. 走*高考

13.(2005 宣武模拟)若命题甲:“ AB = DC ”,命题乙:“ABCD 是*行四边形”.则甲是乙

的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:由 AB = DC 得线段 AB、DC 长度相等且*行或共线,所以 ABCD 不一定是*行四边形;

由 ABCD 是*行四边形得 AB DC,所以 AB = DC .
答案:B 14.(2004 天津统考题)给出下列六个命题: ①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同; ②若|a|=|b|,则 a=b;
③若 AB = DC ,则四边形 ABCD 是*行四边形;

④*行四边形 ABCD 中,一定有 AB = DC ;

⑤若 m=n,n=k,则 m=k;

⑥若 a∥b,b∥c,则 a∥c.

其中不正确的命题的个数为( )

A.2

B.3

C.4

D.5

解析:两个向量起点相同、终点相同,则两个向量相等;但两个向量相等,却不一定有起点

相同,终点相同,故①不正确.根据向量相等的定义,要保证两向量相等,不仅模相等,而

且方向相同,而②中方向不一定相同,故不正确.③也不正确,因为 A、B、C、D 可能落在同

一条直线上.零向量方向不确定,它与任一向量都*行,故⑥中若 b=0,则 a 与 c 就不一定*

行了.因此⑥也不正确.

答案:C

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