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2019年七升八暑期衔接班数学讲义(word版)

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2019 年七升八暑期衔接班数学培优讲义
目录
1. 第一讲:与三角形有关的线段; 2. 第二讲:与三角形有关的角; 3. 第三讲:与三角形有关的角度求和; 4. 第四讲:专题一:三角形题型训练(一); 5. 第五讲:专题二:三角形题型训练(二); 6. 第六讲:全等三角形; 7. 第七讲:全等三角形的判定(一)SAS; 8. 第八讲:全等三角形的判定(二)SSS,ASA,AAS; 9. 第九讲:全等三角形的判定(三)HL; 10. 第十讲:专题三:全等三角形题型训练; 11. 第十一讲:专题四:全等三角形知识点扩充训练; 12. 第十二讲:角*分线的性质定理及逆定理; 13. 第十三讲:轴对称; 14. 第十四讲:等腰三角形; 15. 第十五讲:等腰直角三角形; 16. 第十六讲:等边三角形(一); 17. 第十七讲:等边三角形(二); 18. 第十八讲:专题五:全等、等腰三角形综合运用(一) 19. 第十九讲:专题六:全等、等腰三角形综合运用(二) 20. 第二十讲:专题七:综合题题型专题训练;

第 一 讲 与三角形有关的线段

【知识要点】

一、三角形

1.概念:①三条线段;②不在同一直线上;③首尾相连.

A

2.几何表示:①顶点;②内角、外角;③边;④三角形.

3.三种重要线段及画法:①中线;②角*分线;③高线.

B

C

二、三角形按边分类:(注意:等边三角形是特殊的等腰三角形)

?不等边三角形

三角形

? ??等腰三角形 ?

??腰底不相等的等腰三角形
???腰底相等的等腰三角形 ? 等边三角形 ?

三、三角形的三边关系(教具)

引例:已知*面上有 A、B、C 三点.根据下列线段的长度判断 A、B、C 存在的位置情况:

(1)若 AB=9,AC=4,BC=5,则 A、B、C 存在的位置情况是:

(2)若 AB=3,AC=10,BC=7,则 A、B、C 存在的位置情况是:

(3)若 AB=5,AC=4,BC=8,则 A、B、C 存在的位置情况是:

(4)若 AB=3,AC=9,BC=10,则 A、B、C 存在的位置情况是:

(5)若 AB=4,AC=6,BC=12,则 A、B、C 存在的位置情况是:

总结:三角形的三边关系定理:三角形任意两边之和大于第三边.

三角形的三边关系定理的推论:三角形任意两边之差小于第三边.

【应用】利用定理判断三条线段能否构成三角形或确定三角形第三边的长度或范围.

1.已知 BC=a,AC=b,AB=c.

(1)A、B、C 三点在同一条直线上,则 a,b,c 满足:



(2)若构成△ABC,则 a,b,c 满足:



2.已知 BC=a,AC=b,AB=c,且 a<b<c.

(1)A、B、C 三点在同一条直线上,则 a,b,c 满足:



(2)若构成△ABC,则 a,b,c 满足:
【新知讲授】
例一、如图,在△ABC 中.

①AD 为△ABC 的中线,则线段

=

=1



2

; A

②AE 为△ABC 的角*分线,则

=

=1



2

③AF 为△ABC 的高线,则

=

=90°;

B F ED

C

④以 AD 为边的三角形有



⑤∠AEC 是

的一个内角;是

的一个外角.

例二、已知,如图,BD⊥AC,AE⊥CG,AF⊥AC,AG⊥AB,

则△ABC 的 BC 边上的高线是线段( ).

(A)BD

(B) AE

(C) AF

(D) AG

例三、(1)以下列各组长度的线段为边,能.构成三角形的是(

G
F E B
).

(A)7cm,5cm,12cm

(B)6cm,8cm,15cm

A

DC

(C)4cm,6cm,5cm

(D)8cm,4cm,3cm

(2)满足下列条件的三条线段不.能.组成三角形的是

.(a、b、c 均为正数)

①a=5,b=9,c=7;

②a∶b∶c=2∶3∶5;

③1,a,b,其中 1+a>b;④a,b,c,其

中 a+b>c; ⑤a+2,a+6,5;

⑥a<b<c,其中 a+b>c.

例四、已知三角形的三边长分别为 2,5,x,则 x 的取值范围是

.

发散:①已知三角形的三边长分别为 2,5,2x-1,则 x 的取值范围是

.

②已知三角形的三边长分别为 2,5, 2 ? 4x ,则 x 的取值范围是

.

3

③已知三角形三边长分别为 2,x,13,若 x 为正整数,则这样的三角形个数为( ).

(A)2

(B)3

(C)5

(D)13

④已知三角形的两边长分别为 2,5,则三角形周长 的取值范围是

.

⑤已知一个三角形中两边长分别为 a、b,且 a>b,那么这个三角形的周长 的取值范围是

.

(A)3b< <3a (B)2a< <2a+2b (C)a+2b< <2a+b (D)a+2b< <3a-b

例五、已知三角形的三边长分别为 5,11-x,3x-1.

(1)则 x 的取值范围是



(2)则它的周长 的取值范围是



(3)若它是一个等腰三角形,则 x 的值是

.

发散:①已知三角形的三边长分别为 2,5-x,x-1,则 x 的取值范围是

.

②已知三角形两边的长分别为 3 和 7,则第三边 a 的取值范围是

;若它的周长

是偶数,则满足条件的三角形共有

个;若它是一个等腰三角形,则它的周长



.

③已知等腰三角形腰长为 2, 则三角形底边 a 的取值范围是

;周长 的取值范围



.

④已知三角形三边的长 a、b、c 是三个连续正整数,则它的周长 的取值范围是

.若

它的周长小于 19,则满足条件的三角形共有

个.

⑤若 a 、b、c 是△ABC 的三边长,化简| a ? b ? c | +| a ? b ? c |的结果为( ).

(A) 2b

(B)0

(C) 2a

(D) 2a ? 2c

⑥已知在△ABC 中,AB=7,BC∶AC=4∶3,则△ABC 的周长 的取值范围为

.

【题型训练】

1.以下列各组线段为边,能组成三角形的是( ).

(A)2cm,3cm,5cm (B)5cm,6cm,10cm (C)1cm,1cm,3cm (D)3cm,4cm,9cm

2.各组线段的比分别为①1∶3∶4;②1∶2∶3;③1∶4∶6;④3∶4∶5;⑤3∶3∶6.其中能组成三角形的

有( ).

(A)1 组

(B)2 组

(C)3 组

(D)4 组

3.三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是( )

(A)中线

(B)角*分线

(C)高线

(D)角*分线或中线

4.已知三角形的三边长分别为 6,7,x,则 x 的取值范围是(

).

(A)2<x<12

(B)1<x<13

(C)6<x<7

(D)1<x<7

5.已知三角形的两边长分别为 3 和 5,则周长 的取值范围是( ).

(A)6< <15

(B)6< <16 (C)11< <13 (D)10< <16

6.已知等腰三角形的两边长分别为 5 和 11,则周长是( ).

(A)21

(B)27

(C)32

(D)21 或 27

7.等腰三角形的底边长为 8,则腰长 a 的范围为

.

8.等腰三角形的腰长为 8,则底边长 a 的范围为

.

9.等腰三角形的周长为 8,则腰长 a 的范围为

;底边长 b 的范围为

.

10.三角形的两边长分别为 6,8,则周长 的范围为

.

11.三角形的两边长分别为 6,8,则最长边 a 的范围为

.

12.等腰三角形的周长为 14,一边长为 3,则另两边长分别为

.

13.若 a、b、c 分别为△ABC 的三边长,则|a+b-c|-|b-c-a|+|c-b-a|=

.

14.已知在Δ ABC 中,AB=AC,它的周长为 16 厘米,AC 边上的中线 BD 把 ? ABC 分成周长之差为 4 厘米的两

个三角形,求 ? ABC 各边的长.

A

D

B

C

15.等腰三角形一腰的中线(如图,等腰△ABC 中,AB=AC,BD 为△ABC 的中线)把它的周长分为 15 厘米和

6 厘米两部分,求该三角形各边长.

A

D

B

C

综合探究、三角形两条内、外角*分线的夹角与第三个内角之间的关系 1.如图,△ABC 中,∠ABC、∠ACB 的*分线交于点 I,探求∠I 与∠A 的关系; 2.如图,在△ABC 中,∠ABC、∠ACB 的外角∠ACD 的*分线交于点 I,探求∠I 与∠A 的关系;

3.如图,在△ABC 中,∠ABC 的外角∠CBD、∠ACB 的外角∠BCE 的*分线交于点 I,探求∠I 与∠A

的关系.

A

A

A

I

B

C

B

I CD

B

C

D

E

I

例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角*分线的夹角与另两个内角之间的关系 发散探索一:如图,∠ABD、∠ACD 的*分线交于点 I,探索∠I 与∠A、∠D 之间的数量关系.

A

AI

A

D

I

D

B

CB

I

B

C

C

D

发散探索二:如图,∠ABD 的*分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的*分线所在的直线交于点 I,探索∠I 与∠A、

∠D 之间的数量关系.

A

A

I

A
I

D

B

B

D C

E

I

C

B

E

E C D

发散探索三:如图,∠ABD 的邻补角∠DBE *分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的*分线交于点 I,探索∠I 与∠

A、∠D 之间的数量关系.

A

A

A

D

D

B

B C

E
I

F

E

C

I

F

B

C

D E
F

I

第 二 讲 与三角形有关的角

【知识要点】

一、三角形按角分类:①锐角三角形;②直角三角形;③钝角三角形;

A

12

B

C

二、三角形的内角和定理:三角形内角和为 180°(∠A+∠B+∠1=180°); 三、三角形的内角和定理的推论:
①直角三角形两锐角互余; ②三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和(∠2=∠A+∠B); ③三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角; 四、n 边形的内角和定理:(n-2)×180°; 五、n 边形的外角和为 360°.
【新知讲授】

例一、①正方形的每个内角的度数为

;正五边形的每个内角的度数为

;正六边形的每

个内角的度数为

;正八边形的每个内角的度数为

;正十边形的每个内角的度数



;正十二边形的每个内角的度数为

.

②若一个正多边形的内角和等于等于外角和的 5 倍,则它的边数是

.

③若一个正多边形的每一个内角都等于 144°,则它的边数是

.

④若一个正多边形的每一个内角都等于相邻外角的 2 倍°,则它的边数是

.

例二、如图,△ABC 中,∠A=50°,两条高线 BD、CE 所在直线交于点 H,求∠BHC 的度数.

A

A

E

E C
H DB

B

C

DH

例三、如图,△ABC 中,∠A=50°,两条角*分线 BD、CE 交于点 I,求∠BIC 的度数.
A

E I

D

B
例四、如图,四边形 ABCD 中,∠A=∠C,∠B=∠D,求证:AB∥CD,AD∥BC. A

C D

例五、如图,AB∥CD,AD∥BC,AE⊥BC,AF⊥CD,求证:∠BADB+∠EAF=180°. C

A

D

F

BE

C

例六、如图,六边形 ABCDEF 中,AF∥CD,∠A=∠D,∠B=∠E,求证:BC∥EF.

A

F

E B

C

D

例七、如图,在凸六边形 ABCDEF 中,∠A+∠B+∠F=∠C+∠D+∠E,求证:BC∥EF.

D E
C

F

A

B

【题型训练】
1.如图,△ABC 中,BD、CE 为两条角*分线,若∠BDC=90°,∠BEC=105°,求∠A.

A

E

D

B

C

2.如图,△ABC 中,BD、CE 为两条角*分线,若∠BDC=∠AEC,求∠A 的度数. E

A D

B

C

3.如图,在△ABC 中,BD 为内角*分线,CE 为外角*分线,若∠BDC=125°,∠E=40°,求∠BAC 的度数.

E
A D

B

C

M

4.如图,在△ABC 中,BD 为内角*分线,CE 为外角*分线,若∠BDC 与∠E 互补,求∠BAC 的度数.
E A
D

第 二 讲 作B 业

C

M

1.如果一个三角形三个内角的度数之比为 2∶3∶7,这个三角形一定是( ).

(A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形 (D)钝角三角形

2.如图所示,∠A、∠1、∠2 的

大小关系是( ).

(A)∠A>∠1>∠2

(B)∠2>∠1>∠A

(C)∠A>∠2>∠1

(D)∠2>∠A>∠1

3.下面四个图形中,能判断∠1>∠2 的是( ).

(A)

(B)

(C)

(D)

4.将一副三角板按如图所示摆放,图中∠α 的度数是( ).

A.75° B.90° C.105° D.120°

5.在活动课上,小聪将一副三角板按图中方式叠放,则∠ ? =( ).

(A)30°

(B)45°

(C)60°

(D)75°

6.如图所示,一个 60°角的三角形纸片,剪去这个 60°角后,得到一个四边形,则∠1+∠2 的度数为( ).

(A)120°

(B)180°

(C)240°

(D)300°

7.如图,在△ABC 中,∠C=70?,沿图中虚线截去∠C,

则∠1+∠2=( ).

(A)360?

(B)250?

(C)180?

(D)140?

8.如图,折纸活动中,小明制作了一张△ABC 纸片,点 D、E 分别是边 AB、AC 上,将△ABC 沿着 DE 折叠,

A 与 A′重合,若∠A=75°,则∠1+∠2=( ).

(A)150°

(B)210°

(C)105°

(D)75°

9.如图,在△ABC 中,∠B=67°,∠C=33°,AD 是△ABC 的角*分线,则∠CAD 的度数为( )

(A)40°

(B)45°

(C)50°

(D)55°

10.已知 Δ ABC 的三个内角∠A、∠B、∠C 满足关系式∠B+∠C=3∠A,则此三角形( ).

(A)一定有一个内角为 45?

(B)一定有一个内角为 60?

(C)一定是直角三角形

(D)一定是钝角三角形

11.将一副三角尺按如图方式放置,则图中∠AOB 的度数为( ).

(A)75°

(B)95°

(C)105°

(D)120°

O

B

12.若一个正多边形的每一个内角都等于 160°,则它是( ).

A

(A)正十六形

(B)正十七形

(C)正十八边形

(D)正十九边形

13.一个多边形的内角和比它的外角和的 2 倍还大 180°,这个多边形的边数为( ).

(A)7

(B)8

(C)9

(D)10

14. 已知:在△ABC 中,∠B 是∠A 的 2 倍,∠C 比∠A 大 20°,则∠A 等于( ).

(A)40°

(B)60°

(C)80°

(D)90°

15.如图,人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是

.

16.如图,在△ABC 中,D、E 分别是边 AB、AC 上的两点,BE、CD 相交于点 F,∠A=62°,∠ACD=40°,∠

ABE=20°,求∠BFC 的度数.

A

D

E

F

B

C

17.如图,已知直线 DE 分别交△ABC 的边 AB、AC 于 D、E 两点,交边 BC 的延长线于点 F,若∠B=67°,∠ACB=74°, ∠AED=48°,求∠BDF 的度数.

第三讲:与三角形有关的角度求和

【知识要点】
1.与三角形有关的四个基本图及其演变; 2.星形图形的角度求和.
【新知讲授】
例一、如图,直接写出∠D 与∠A、∠B、∠C 之间的数量关系.

A

A

A

D

D

B

CB

B C

C D

箭形:

;蝶形:

;四边形:

.

请给出“箭形”基本图结论的证明(你能想出几种不同的方法):

例二、三角形两条内、外角*分线的夹角与第三个内角之间的关系

1.如图,△ABC 中,∠ABC、∠ACB 的*分线交于点 I,探求∠I 与∠A 的关系;

A

I

B

C

2.如图,在△ABC 中,∠ABC、∠ACB 的外角∠ACD 的*分线交于点 I,探求∠I 与∠A 的关系; A
I

B

CD

3.如图,在△ABC 中,∠ABC 的外角∠CBD、∠ACB 的外角∠BCE 的*分线交于点 I,探求∠I 与∠A 的关系.

A

B

C

例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角*分线的夹角与另两个内D角之间的关系 E

发散探索一:如图,∠ABD、∠ACD 的*分线交于点 I,探索∠I 与∠A、∠D 之间的数量关系.

I

A

AI

A

D

I

D

B

CB

I

B

C

C

D

发散探索二:如图,∠ABD 的*分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的*分线所在的直线交于点 I,探索∠I 与∠A、

∠D 之间的数量关系.

A

A

I

A
I

D

B

B

D C

E

I

C

B

E

E C D

发散探索三:如图,∠ABD 的邻补角∠DBE *分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的*分线交于点 I,探索∠I 与∠

A、∠D 之间的数量关系.

A

A

A

D

D

B

B C

E
I

F

E

C

I

F

B C
D E
F
I

例四、如图,在△ABC 中, BP、BQ 三等分∠ABC,CP、CQ 三等分∠ACB.

(1)若∠A=60°,直接写出:∠BPC 的度数为

,∠BQC 的度数为



(2)连接 PQ 并延长交 BC 于点 D,若∠BQD=63°,∠CQD=80°,求△ABC 三个内角的度数.

A

P Q

例五、如图,BD、CE 交于点 M,OB *分∠ABD,OC *分∠ACE,OD *分∠ADB,OE *分∠AEC,

B

D

C

求证:∠BOE=∠COD;

A

EO D

M

B

C

【题型训练】
1.如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数和.
2.如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.

A

D

C

B A
E B

E D
F C

3.如图,已知∠1=60°,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.

发散探索:①如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=



②如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=



③如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=

.

④如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=

.

⑤如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=



⑥如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=



⑦如图,BC⊥EF,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数.

第三讲作业

1.如图,B 岛在 A 岛的南偏西 30°,A 岛在 C 岛的北偏西 35°,B 岛在 C 岛的北偏西 78°,则从 B 岛看 A、

C 两岛的视角∠ABC 的度数为( ).

(A)65°

(B)72°

(C)75°

(D)78°

2.如图,D、E 分别是 AB、AC 上一点,BE、CD 相交于点 F,∠ACD=30°,∠ABE=20°,∠BDC+∠BEC=170°

则∠A 等于(

).

(A)50°

(B)85°

(C)70°

(D)60°

3.一副三角板,如图所示叠放在一起,则图中∠? 的度数是( ).

(A)75°

(B)60°

(C)65°

(D)55°

A

D E

F

B

C

4.如图,在△ABC 中,∠BAC=36°,∠C=72°,BD *分∠ABC 交 AC 于点 D,AF∥BC,交 BD 的延长线于点 F,

AE *分∠CAF 交 DF 于 E 点.我们定义:在一个三角形中,有一个角是 36°,其余两个角均为 72°的三

角形和有一个角是 108°,其余两个角均为 36°的三角形均被称作“*鹑切巍保蛘飧鐾贾谢*鹑

角形共有( ).

(A)8 个

(B)7 个

(C)6 个

(D)5 个

5.如图,∠A=35°,∠B=∠C=90°,则∠D 的度数是( ).

(A)35°

(B)45°

(C)55°

(D)65°

6.如图,已知∠A+∠BCD=140°,BO *分∠ABC,DO *分∠ADC,则∠BOD=( ).

(A)40°

(B)60°

(C)70°

(D)80°

7.如图,一个直角三角形纸片,剪去直角后,得到了一个四边形,则∠1+∠2=



8.如图,在△ABC 中,∠A=80°,点 D 为边 BC 延长线上的一点,∠ACD=150°,则∠B=

.

9.将一副直角三角板如上图放置,使含 30°角的三角板的短直角边和含 45°角的三角板的一条直角边重

合,则∠1 的度数为

.

10.一副三角板叠在一起如图放置,最小锐角的顶点 D 恰好放在等腰直角三角板的斜边 AB 上,BC 与 DE 交

于点 M.若∠ADF=100°,则∠BMD 为



11.如图,在△ABC 中,∠B=47°,三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的*分线交于点 E,则∠AEC=______.

12.如图,∠ACD 是△ABC 的外角,∠ABC 的*分线与∠ACD 的*分线交于点 A1,∠A1BC 的*分线与∠A1CD

的*分线交于点 A2,…,如此下去,∠An﹣1BC 的*分线与∠An﹣1CD 的*分线交于点 An .设∠A=θ .则

∠A1=

; An =



13.已知:如图 1,在△ABC 中,∠ABC、∠ACB 的角*分线交于点 O,则 ?BOC ? 90? ? 1 ?A 2

?

1 ?180? ? 2

1 ?A ;如图 2

2,在△ABC

中,∠ABC、∠ACB

的两条三等分角线分别对应交于点 O1 、 O2 ,



?BO1C

?

2 3

?180?

?

1 3

?A



?BO2C

?

1 3

?180?

?

2 3

?A

;……;根据以上阅读理解,当

n

等分角时,

内部有 n ?1个交点,你以猜想 ?BOn?1C =(

).

(A) 2 ?180? ? 1 ?A

n

n

(B) 1 ?180? ? 2 ?A

n

n

(C) n ?180? ? 1 ?A

n ?1

n ?1

(D) 1 ?180? ? n ?1?A

n

n

A

A

A

O

O2

O1

On-1 O2 O1

B

CB

CB

C

图1

图2

图3

14.在△ABC 中,∠C=∠ABC=2∠A,BD 是 AC 边上的高,BE *分∠ABC,求∠DBE 度数.

第 四 讲 专题一:三角形题型训练(一)

【知识要点】

*行线、三角形内角和的综合运用

【新知讲授】

例一、如图,在四边形 ABCD 中,∠A=∠C=90°,BE、DF 分别*分∠ABC、∠ADC,请你判断 BE、DF 的位置

关系并证明你的结论.

A

D

E F

B

C

例二、如图,在四边形 ABCD 中,∠A=∠C=90°,∠ABC 的外角*分线与∠ADC 的*分线交于点 E,请你判断

BE、DE 的位置关系并证明你的结论. A

D

E

M

B

C

例三、 如图,在四边形 ABCD 中,∠A=∠C=90°,BE、DF 分别*分∠ABC、∠ADC 的外角,请你判断 BE、DF

的位置关系并证明你的结论.

A D

N
B C F
M E
例四、如图,∠A=∠C=90°,∠ABC 的*分线与∠ADC 的*分线交于点 E,请你判断 BE、DE 的位置关系并证 明你的结论. D

B C
E A

例五、如图,∠A=∠C=90°,BE *分∠ABC,DF *分∠ADC 的的外角,请你判断 BE、DE 的位置关系并证明

你的结论.

M

D F

B C
E A

例六、如图,∠A=∠C=90°,∠ABC 的外角*分线与∠ADC 的外角*分线交于点 E,请你判断 BE、DE 的位置

关系并证明你的结论.

N E

D M

B

C

A

例七、如图,△ABC 中,P 为 BC 边上任一点,PD∥AB,PE∥AC. (1)若∠A=60°,求∠DPE 的度数; (2)若 EM *分∠BEP,DN *分∠CDP,试判断 EM 与 DN 之间的位置关系,写出你的结论并证明. A
D E

B

P

例八、如图,△ABC 中,D、E、F 分别在三边上,∠BDE=∠BED,∠CDFM=∠CFD.

(1)若∠A=70°,求∠EDF 的度数;

(2)EM *分∠BED,FN *分∠CFD,若 EM∥FN,求∠A 的度数.

C N
A

E F

B

M DN C

例九、如图,△ABC 中,D、E、F 分别在三边上,∠DBE=∠DEB,∠DCF=∠DFC. (1)若∠A=70°,求∠EDF 的度数; (2)EM *分∠BED,FN *分∠CFD,若 EM∥FN,求∠A 的度数.

A E
F

【题型训练】

B

M D NC

1.如图 1、图 2 是由 10 把相同的折扇组成的“蝶恋花”和“梅花”,图中的折扇完全打开且无重叠,则“梅

花”图案中五角星的 5 个锐角的度数均为( ).

(A) 36°

(B) 42°

(C) 45°

(D) 48°

2.如图,在△ABC 中,∠B=∠C,D 是 BC 上一点,DE⊥BC 交 AC 于点 E,DF⊥AB,垂足为 F,若∠AED=160°,

则∠EDF 等于( ).

(A)50°

(B)60°

(C)70°

(D)80°

3.如图,△ABC 中,∠B=∠C,∠BAD=32°,∠ADE=∠AED,则∠CDE=

.

A

E

B

D

C

4.已知△ABC 中,∠ACB—∠B=90°,∠BAC 的*分线交 BC 于 E,∠BAC 的外角的*分线交 BC 的延长线于 F,

则△AEF 的形状是

.

5.如图,AB∥CD,∠A=∠C,AE⊥DE,∠D=130°,则∠B 的度数为

.

6.如图:点 D、E、F 为△ABC 三边上的点,则∠1 +∠2 +∠3+∠4 +∠5 +∠6 =



D A

D

C

E

B

EC

F

A

B

7.若一束光线经过三块*面镜反射,反射的路线如图所示,图中的字母表示相应的度数,若 c ? 60? ,∠

P=110°,则 d ? e 的值为

, x 的值

.

B

M

C

A

D

8.如图,在*行四边形 ABCD 中,∠BAD 的*分线交边 BC 于点 M,连接 MD,且 MD 恰好*分∠AMC,若∠MDC=45°,

则∠BAD=

,∠ABC=

.

第四讲作业

1.如图,已知△ABC 的三个顶点分别在直线 a、b 上,且 a∥b,若∠1=120°,∠2=80°,则∠3 的度数是( ).

(A)40°

(B)60°

(C)80°

(D)120°

2.如图,BD∥EF,AE 与 BD 交于点 C,若∠ABC=30°,∠BAC=75°,则∠CEF 的大小为( ).

(A)60°

(B)75°

(C)90°

(D)105°

3.如图,已知 D、E 在△ABC 的边上,DE∥BC,∠B=60°,∠AED=40°,则∠A 的度数为( ).

(A)100°

(B)90°

(C)80°

(D)70°

4.已知,直线 l1∥l2,将一块含 30°角的直角三角板如图所示放置,∠1=25°,则∠2 等于(

).

(A)30°

(B)35°

(C)40°

(D)45°

5.如图,将三角尺的直角顶点放在直线 a 上,a∥b,∠1=50°,∠2=60°,则∠3 的度数为( ).

(A)50°

(B)60°

(C)70°

(D)80°

6.小明同学把一个含有 45°角的直角三角板在如图所示的两条*行线 m,n 上,测得 ?? =120°,则 ??

的度数是( ).

(A)45°

(B)55°

(C)65°

(D)75°

7.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°.D 为边 CA 延长线上的一点,DE‖AB,∠ADE=42°,则∠B 的大小为( ).

(A) 42°

(B) 45°

(C) 48°

(D)58°

8.如图,B 处在 A 处的南偏西 45°方向,C 处在 A 处的南偏东 15°方向,C 处在 B 处的北偏东 80°方向,

则∠ACB 等于( )

(A)65°

(B)72°

(C)75°

(D)78°

9.如图,已知 AC∥ED,∠C=26°,∠CBE=37°,则∠BED 的度数是( ).

(A)63°

(B)83°

(C)73°

(D)53°

10.如图,已知 a∥b,小亮把三角板的直角顶点放在直线 b 上.若∠1=40°,则∠2 的度数为



11.如图,已知 DE∥BC,CD 是∠ACB 的*分线,∠B=70°,∠A=60°. (1)求∠EDC 的度数; (2)求∠BDC 度数.

12.如图,∠DAB+∠D=180°,AC *分∠DAB,且∠CAD=25°,∠B=95°. (1)求∠DCA 的度数; (2)求∠FEA 的度数.

13.如图,B 处在 A 处的南偏西 57°的方向,C 处在 A 处的南偏东 15°方向,C 处在 B 处的北偏东 82°方 向,求∠C 的度数. A 北
南 C
B
第五讲 专题一:三角形题型训练(二)
知识点:三角形三边的关系定理:两边之和大于第三边;两边之差小于第三边 三角形的内角和定理:三角形的内角和等于 180°
典型例题: 1、已知Δ ABC 的周长为 10,且三边长为整数,求三边的长。
2、已知等腰三角形一边长 3cm,另一边长 6cm,求三角形的周长。
3、如图,Δ ABC 的面积是 60,AD:DC=1:3,BE:ED=4:1,EF:FC=4:5, 求Δ BEF 的面积。
4、如图,Δ ABC 中,D 是 BC 上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°, 求∠DAC 的度数。

5、已知,如图,点 P 是Δ ABC 内一点,连接 PB、PC,请∠BPC 与∠A 的大小? 并说明理由。
6、如图,在直角三角形 ABC 中,∠ACB=90°,CD 是 AB 边上的高, AB=10cm,BC=8cm,AC=6cm,
求:(1)CD 的长; (2)Δ ABC 的角*分线 AE 交 CD 于点 F,交 BC 于 E 点,求证:∠CFE=∠CEF。
7、如图。在直角*面坐标系中,已知 B(b,0),C(0,c), 且|b+3|+(2c-8) 2 =0 (1)求 B、C 两点的坐标;
(2)点 A、D 是第二象限的点,点 M、N 分别是 x 轴和 y 轴负半轴上的点,∠ABM=∠CBO, CD∥AB,MC、NB 所在直线分别交 AB、CD 于 E、F,若∠MEA=70°,∠NFC=30°, 求∠CMB-∠CNF 的值;
(3)如图,AB∥CD,Q 是 CD 上一动点,CP *分∠DCB,BQ 与 CP 交于点 P,求 ?DQB ? ?QBC 的值。 ?QPC

8、如图,点 E 在 BA 延长线,DA、CE 交于点 F,且∠DCE=∠AEF,∠B=∠D。 (1)说明 AD 与 CB 的位置关系,并给出证明;

(2)∠EAD、∠DCF 的*分线交于 G,∠ECB=40°,求∠G。
9、如图,AB∥CD,PA *分∠BAC,PC *分∠ACD,过 P 作 PM、PE 于 M,交 AB 于 E。 (1)求证:PA┴PC;

交 CD

(2)当 E、M 在 AB,CD 上运动时,求∠APE+∠AEP-∠MPC-∠PMC 的值。
10、如图,AB∥CD,∠AEC=90° (1)当 CE *分∠ACD 时,求证:AE *分∠BAC;
(2)移动直角顶点 E,如图,∠MCE=∠ECD,当 E 点转动时,问∠BAE 与∠MCG 是否存在确定的数量关系,并证明。

11、*面直角坐标系中 OP *分∠xOy,B 为 y 轴上一点,D 为第四象限内一点 BD 交 x 轴于 C,过 D 作 DE∥ OP 交 x 轴于 E,CA *分∠BCE 交 OP 于 A。 (1)若∠D=75°,如图 1,求∠OAC 的度数;
(2)若 AC、ED 的延长线交于 F,如图 2,则∠F 与∠OBC 是否具有确定的关系?写出这种关系,并证明你 的结论;
(3)∠BDE 的*分线交 OP 于 G,交直线 AC 于 M,如图 3,以下两个结论:?∠GMA=∠GAM;?
2?OGD ? ?OED 为定值,其中只有一个结论是正确的,请确定正确的结论,并给出证明。 ?OAC

12、如图,在*面直角坐标系中,AB 交 y 轴点 C,连接 OB (1)A(-2,0),B(2,4),求Δ AOB 的面积及点 C 的坐标;
(2)点 D 在 x 轴上,∠OBD=∠OBC,求 ?BDA ? ?BAD 的值; ?BOC
(3)BM┴x 轴于点 M,N 在 y 轴上,∠MNB=∠MBN,点 P 在 x 轴上,∠MNP=∠MPN, 求∠BNP 的度数。 13、在*面直角坐标系中,D(3,0),F(0,4)。
(1)求 S?ODF ;
(2)将等腰直角三角板Δ ABC 如图放置,且∠1=∠2, 求证:∠FMN=∠FNM;
(3)在(2)中探求∠DFO 与∠CBD 的相等的数量关系并证明。
课后练*

1、已知等腰三角形的三边长分别为 a,2a-1,5a-3,求这个三角形的周长。

2、已知 AD 是Δ ABC 的高,∠BAD=70°,∠CAD=20°,求∠BAC 的度数。

3、如图,BD:CD=2:1,请过点 D 画直线 l 将Δ ABC 的面积分成

相等的两部分。

4、如图,Δ ABC 中,D、E、F、G 分别为 BC、BD、AB、FB 的中点,若 S?ABC =32,求 S?BEG

5、如图,Δ ABC 中,D、E、F 分别为 BC、AD、BE 的中点,若 S?CEF =2,求 S?ABC

6、若多边形截去一个角后变为十六边形,则原来的多边形的边数为______________ 7、若多边形所有内角与它的一个外角的和为 600°,求这个多边形的边数及内角和。
8 如图在*面直角坐标系中,已知 y 轴上的点 A(0,4),和第一象限内的点 B(m,n),Δ ABO 的面积为 8. (1)求 m 的值;

(2)如图,OF、AE 为Δ ABO 的角*分线,OF、AE 相交于点 C,BG *分∠ABO,CH 为Δ ACO 的高,求证:∠ ACH=∠BCF;

(3)如图,OD 为 OB 与 x 轴的正半轴夹角的角*分线,延长 AC 与 OD 交于点 D,当 B 点运动时,∠D-∠CBO 的值是否变化,若不变,求出该值 。

第 五 讲 全等三角形

【知识要点】

1.全等三角形的定义:

(1)操作方式:能够完全重合的两个三角形叫全等三角形;

(2)几何描述:大小、形状完全相同的两个三角形叫全等三角形;

(几何中就是借助于边、角以及其它可度量的几何量来描述几何图形的大小和形状)

2.全等三角形的几何表示:如图,△ABC≌△DEF;(注意对应点、对应边、对应角)

3.全等的性质:(求证线段相等、求证角相等的常规思维方法)

性质 1:全等三角形对应边相等;

A

D

性质 2:全等三角形对应角相等;

几何语言 ∵△ABC≌△DEF

∴AB=DE;AC=DF,BC=EF;

∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F. B

CE

F

性质 3:全等三角形的对应边上的高、对应角*分线、对应边上的中线相等

性质 4:全等三角形的周长、面积相等

4.三角形全等的常见基本图形

*移型

对称型

【新知讲授】
例 1.如图,△OAB≌△OCD,AB∥EF,求证:CD∥EF.

D

C

O

A

B

E

F

巩固练*:已知△ABC≌△DEF,且∠B=70 0 ,∠F-∠D=60 0 ,求△DEF 各内角的度数。
例 2.如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于点 D,BE⊥AC 于 点 E,AD、BE 交于点 F,△ADC≌△BDF.(1)∠C=50°, 求∠ABE 的度数. (2)若去掉原题条件“AD⊥BC 于点 D,BE⊥AC 于 点 E”,仅保持“△ADC≌△BDF”不变,试问:你能 证明:“AD⊥BC 于点 D,BE⊥AC”吗?
巩固练*: 1.如图,△ABC≌△ADE,延长边 BC 交 DA 于点 F,交 DE 于点 G. (1)求证:∠DGB=∠CAE; (2)若∠ACB=105°,∠CAD=10°,∠ABC=25°,求∠DGB 的度数.
2.如图,把△ABC 纸片沿 DE 折叠,点 A 落在四边形 BCDE 内部的点 F 处. (1)写出图中一对全等的三角形,并写出它们的所有对应角; (2)设∠AED 的度数为 x,∠ADE 的度数为 y,那么∠1,∠2 的度数分别是多少?(用含有 x 或 y 的代 数式表示) (3)∠A 与∠1+∠2 之间有一种数量关系始终保持不变,请找出这个规律.

3.如图,将△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 45°后得到△A′OB′. (1)图中有全等三角形吗?请写出来; (2)图中有等腰三角形吗?请写出来; (3)延长 A A′、BB′交于点 P,求证:∠P=∠AOB.

例 3.如图,△ABC 中,D、E 分别为 AC、BC 上的一点,若△ABD≌△EBD,

AB=8,AC=6,BC=10.

(1)求 CE 的长;

(2)求△DEC 的周长.

巩固练*: 1.如图,将△ABC 沿直线 l 向右*移得到△DEF.
(1)图中有全等三角形吗?请写出来;
(2)图中有*行线吗?请写出来;
(3)请补充一个条件,使得 AF=3CD,并你的理由.

2.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,将Rt△ABC沿DE折叠,使A点与B点重合,折痕为DE.

(1)图中有全等三角形吗?请写出来;

A

(2)若∠A=35°,求∠CBD的度数;

E

D

C

B

(3)若AC=4,BC=3,AB=5,求△BCD的周长.

3.如图,在△ABC中,△BDF≌△ADC. (1)求证:BE⊥AC; (2)若BD=5,CD=2,求△ABF的面积.

例 4.如图,△ABF≌△CDE. (1)求证:AB∥CD;AF∥CE; (2)若△AEF≌△CFE,求证:∠BAE=∠DCF; (3)在(2)的条件下,若∠B=35°,∠CED=30°,∠DCF=20°,求∠EAF 的度数.

A

B

E

F

D

C

【课后练*】

一、选择题

1.小明去照相复印社,用一张 A4 的底稿复印了两张 A4 和两张 B4 的复印件,下列说法:①A4 的底稿和 A4

的复印件是全等形;②A4 的底稿和 B4 的复印件是全等形;③两张 A4 的复印件之间是全等形;④两张

B4 的复印件之间是全等形,其中正确结论的个数是( ).

(A)1 个

(B)2 个

(C)3 个

(D)4 个

2.下面结论是错误的是( ).

(A)全等三角形对应角所对的边是对应边

(B)全等三角形两条对应边所夹的角是对应角

(C)全等三角形是一个特殊的三角形

(D)如果两个三角形都与另一个三角形全等,那么这两个三角形全等

3.如图,△ABC≌△AEF,则下列结论中不一定成立的是( ).

(A)AC=AF

(B)∠EAB=∠FAC

(C)EF=BC

(D)EF *分∠AFB

4.如图,已知△ABC≌△DEF,AB=DE,AC=DF,则下列结论:①BC=EF;②∠A=∠D;③∠ACB=∠DEF;④BE=CF,

其中正确结论的个数是( ).

(A)1 个

(B)2 个

(C)3 个

(D)4 个

5.如图,△ABD≌△EFC,AB=EF,∠A=∠E,AD=EC,若 BD=5,DF=2.2 则 CD=( ).

(A)2.2
E

(B)2.8
A

(C)3.4

A

D

(D)4

A

E

BF

CB

EC

FB C

DF

(第 3 题图)

(第 4 题图)

(第 5 题图)

6.如图,已知△ABD≌△ACD,下列结论:

①△ABC 为等腰三角形;②AD *分∠BAC;③AD⊥BC;④AD=BC.

其中正确结论的个数是( ).

(A)1 个

(B)2 个

(C)3 个

(D)4 个

二、填空题

7.已知:如图,△ACD≌△AEB,其中 CD=EB,AB=AD,则∠ADC 的对边是

,AC 的对应边是



∠C 的对应角是

.

8.如图,已知△ABD≌△DCA,AB 的对应边是 DC,AD 的对应边是

,∠BAD 的对应角是



AB 与 CD 的位置关系是

.

9.如图,若△OAD≌△OBC,且∠O=65°,∠C=20°则∠OAD=

A

A

B

B

D


O

B

A

C

C

D

E

(第 7 题图)

(第 8 题图)

E

D

C

(第 9 题图)

10.将一个无盖正方体纸盒展开(如图①),沿虚线剪开,

用得到的 5 张纸片(其中 4 张是全等的直角三角形纸片)

拼成一个正方形(如图②)。则所剪得的直角三角形较短

的与较长的直角边的比是_________.

三、解答题

11.如图,直线 l ⊥BC,将△ABC 沿直线 l 翻折得到△DEF,AB 分别交 DF、DE 于 M、Q 两点,AC 交 DF 于点 Q.

(1)图中共有多少对全等三角形?(不添加其它字母)

(2)写出(1)中所有的全等的三角形.

12.如图,△ABC≌△ADE,点 E 正好在线段 BC 上. (1)求证:∠DEB=∠EAC; (2)若∠1=50°,求∠DEB 的度数.

D

A
1

F

B

EC

第七讲:全等三角形的判定(一)SAS

【知识要点】 1.求证三角形全等的方法(判定定理):①SAS;②ASA;③AAS;④SSS;⑤HL;

需要三个边角关系;其中至少有一个是边;

2.“SAS”定理:有两边及夹角对应相等的两个三角形全等;

①求证全等的格式:(“全等五行”)

如: 在△ABC 和△DEF 中:

A

D

? AB ? DE ???A ? ?D

?? AC ? DF

∴△ABC∽△DEF.(SAS)

B

CE

F

②利用全等进行几何证明的三大环节:预备证明、“全等五行”、全等应用; ③“边边角”不能证明两个三角形全等; 2.三角形全等的的应用:①证明线段相等;②证明角相等; 3.注意不需要预备证明而直接利用的隐藏条件:公共边、公共角、对顶角.
【新知讲授】
“SAS”公理的运用 例 1、已知:如图,C 为 AB 的中点,CD∥BE,CD=BE,求证:∠D=∠E.

巩固练* 1.如图,点 E、A、C 在同一条直线上,AB∥CD,AB=CE,AC=CD,求证:BC=DE.

2.已知:如图,AB=AC,D、E 分别为 AB、AC 的中点,求证:∠B=∠C. 例 2.已知:如图,AB=CD,∠ABC=∠DCB,求证:∠ABD=∠ACD.

巩固练*: 1.已知:如图,AB∥CD,AB=CD,AE=DF,求证:CE∥BF.

A E
C

B
F D

2.已知:如图,AB=AD,AC=AE,∠1=∠2,求证:∠DEB=∠2.

例 3.如图,BD、CE 为△ABC 的两条中线,延长 BD 到 G,使 BD=DG,延长 CE 到 F,使 CE=EF.(1)求证:AF=AG; (2)试问:F、A、G 三点是否在同一直线线?证明你的结论.

巩固练*: 1.已知:如图,AB⊥BD 于点 B,CD⊥BD 于点 D,AB=CD,BE=DF,A求证:∠EAF=∠ECF.

BE

FD

2.已知:如图,AB=AC,AD *分∠BAC,求证:∠DBE=∠DCE.

C

例 4.已知:如图,OA=OB,OC=OD,求证:∠ACD=∠BDC. (提示:不能用等腰三角形的性质)
巩固练*: 1.已知:如图,OD=OE,OA=OB,OC *分∠AOB,求证:∠A=∠B.

2.已知:如图,AB=CD,BE=CF,∠B=∠C,求证:∠EAF=∠EDF.
【课后作业】
1.如图,已知点 A、F、C、D 在同一直线上,点 B 和点 E 分别在直线 AD 的两侧,且 AB=DE,∠A=∠D,AF=DC, 求证:BC∥EF.
2.已知:如图,AB⊥BD,CD⊥BD,AB=DE,BE=CD,试判断△ACE 的形状并说明理由.

3. 如图,点 A、B、C、D 在同一条直线上,EA?AD,FD?AD,AE=DF,AB=DC,求证:?ACE=?DBF.

E

F

AB

CD

4.已知:如图,OD=OE,OC *分∠AOB,求证:∠A=∠B.

5.如图,四边形 ABCD 中,AD=BC,AD∥BC,求证:AB=CD,AB∥CD.

A

D

B

C

6.如图,已知,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.

(1)求证:BD=CE;

(2)若∠BAC=∠DAE=? ,延长 BD 交 CE 于点 P,

则∠BPC 的度数为

.(用含? 的式子表示)

A E

D

B

C

7.如图,C 是线段 AB 的中点,CD *分∠ACE,CE *分∠BCD,CD=CE.

(1)求证:△ACD≌△BCE; (2)若∠D=50°,求∠B 的度数.

D

E

A

C

B

8.如图,在△ABC 中,D 是 BC 边的中点,F、E 分别是 AD 及其延长线上的点,请你添加一个条件,使△BDE

≌△CDF (不再添加其它线段),并能用“SAS”公理进行证明.

(1)你添加的条件是:



(2)证明:

第八讲:全等三角形的判定(二)SSS,ASA,AAS

【知识要点】 1.求证三角形全等的方法(判定定理):①SAS;②ASA;③AAS;④SSS;⑤HL;
需要三个边角关系;其中至少有一个是边;

2.“SSS”定理:三边对应相等的两个三角形全等;

如: 在△ABC 和△DEF 中:

A

D

? AB ? DE ??BC ? EF

?? AC ? DF

∴△ABC∽△DEF.(SSS)

B

CE

F

3.①“ASA”定理:两角及两角所夹的边对应相等的两个三角形全等;

②“AAS”定理:两角及其中一角所对的边对应相等的两个三角形全等;

如: 在△ABC 和△DEF 中:

在△ABC 和△DEF 中:

??B ? ?E ??BC ? EF ???C ? ?F
∴△ABC∽△DEF.(ASA)

??A ? ?D ???B ? ?E ??BC ? EF
∴△ABC∽△DEF.(AAS)

4. “SAS”、“SSS”、 “ASA”、“AAS”四种基本方法的综合运用.
【定理运用】 例 1、如图,E、F 两点在线段 BC 上,AB=CD,AF=DE,BE=CF,求证:∠AFB=∠DEC.

巩固练*: 1.如图,已知,AB=AC,AD=AE,BD=CE,延长 BD 交 CE 于点 P,求证:∠BAC=∠DAE;

例 2.已知命题:如图,点 A,D,B,E 在同一条直线上,且 AD=BE,BC=EF,则△ABC≌△DEF.(1)判断这 个命题是真命题还是假命题? (2)如果是真命题,请给出证明;如果是假命题,请添加一.个.适当条件使它成为真命题,并能运用“SSS” 公理加以证明.

巩固练*: 1.如图,已知,AB=CD,BE=DF,AF=CE,求证:AD∥BC.
2.已知:如图,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2,求证:AF=AG.

例 3.、如图,C 为线段 AB 的中点,AD∥CE,∠D=∠E,求证:CD=EB.

D

E

A

C

B

巩固练* 1.如图,AD 为△ABC 的高线,E、F 为直线 AD 上两点,DE=DF,BE∥CF,求证:AB=AC.
2.如图,∠ABC=∠DCB,BD、CA 分别是∠ABC、∠DCB 的*分线,求证:AB=DC.

例 4.如图,△ABC 中,AB=AC,D、E 分别在 BC、AC 的延长线上,∠1=∠2=∠3,求证:AD=AE.
巩固练*: 1.已知:如图,∠A=∠D,OA=OD,求证:∠1=∠2.

2.已知:AD∥BC,AE⊥BD,CF⊥BD,AE=CF,求证:AB=CD.

A

D

F

B 例 5.已知:如图,AB=CD,∠A=∠D,求证:∠ABC=∠DCB.

E C

巩固练*:1.已知:如图,AB=AC,AD=AE,求证:∠DBC=∠ECB.

A

E

D

B

C

2.已知:如图,△ABC 中,∠BAC=∠BCA,延长 BC 边的中线 AD 到 E 点,使 AD=DE,F 为 BC 延长线上一点,

且 CE=CF,

A

求证:AF=2AD.

BD

C

F

E

例 6.在△OAB 和△OCD 中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD,AC、BD 交于点 P.

(1)①如图 1,∠AOB=∠COD=60°,则∠APD= ,AC 与 BD 的数量关系是



②如图 2,∠AOB=∠COD=90°,则∠APD= ,AC 与 BD 的数量关系是



(2)如图 3,∠AOB=∠COD=α °,则∠APD 的度数为

(用含α 的式子表示),AC 与 BD 之间的

等量关系是

;填写你的结论,并给出你的证明;

O

A

D

O

A

D

O

??

D

A

PC B
图1

P C
B 图2

PC B
图3

巩固练*:点 C 为线段 AB 上一点,分别以 AC、BC 为腰在直线 AB 的同侧作等腰△ACD 和等腰△BCE,且 CA=CD,

CB=CE,∠ACD=∠BCE,直线 AE、BD 交于点 F.

(1)如图 1,若∠ACD=60°,则∠AFB=



(2)如图 2,若∠ACD=? °,则∠AFB=

;(用? 的代数式表示)

(3)如图 3,将图 2 中的△ACD 绕点 C 顺时针旋转一个角度,延长 BD 交线段 AE 于点 F,试探究∠AFB

与? 之间的数量关系,并给出你的证明.

E DF

D

F

E

A

F D

E

A

C

图1

BA

C
图2

B

C

B

图3

例 7.已知:AB=AC,AD=AE,AF⊥CD,AG⊥BE,求证:AF=AG.

巩固练*:1.如图,在△ABC 和△DCB 中,AB = DC,AC = DB,AC 与 DB 交于点 M.

(1)求证:△ABC≌△DCB ;

(2)过点 C 作 CN∥BD,过点 B 作 BN∥AC,CN 与 BN 交于点 N,试判断线段 BN 与 CM 的数量关系,并证

明你的结论.

A

D

M

B

C

N

2.如图,已知,AB=AD,AC=AE,∠1=∠2. (1)求证:BC=DE; (2)若 AF *分∠BAC,求证:AF=AC.

3.已知:如图,AB=AC,AD=AE,求证:AO *分∠BAC.

4.如图,等腰 Rt△ABC 中,AB=AC,过 A 任作直线 l ,BD⊥ l 于点 D,CE⊥ l 于点 E.

(1) 若 l 与 BC 不相交,求证:BD+CE=DE;

AE ?

D

B

C

(2) 当直线 l 绕 A 点旋转到与 BC 相交时,其它条件不变,试猜想 BD、CE 和 DE 的关系? 画图并给出证明.
A

B

C

课后作业:

1.如图,等腰 Rt△ABC 和等腰 Rt△ADE 中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°.

(1)求证:BD=CE; (2)求证:BD⊥CE.

D

A

E

B

C

2.已知:如图,AB=AC,AD=AE,BD=CE,求证:∠BAE=∠CAD. A

E B

D C

3.如图,四边形 ABCD 中,AB=CD,AD=BC,求证:AB∥CD,AD∥BC.

A

D

B

C

4.已知:如图,在四边形 ABCD 中,AB=CB,AD=CD,求证:∠A=∠C.

5.已知:如图,AD=BC,AC=BD,求证:∠D=∠C.

D

C

O

A

B

6.如图 1,等腰△ABC 中 AB=AC,D、E 分别在 AC、AB 上,且 AD、AE,M、N 分别 BE、CD 的中点.

(1)CD

BE,AM

AN;(填“>”、“=”、“<”)

(2)如图 2,把图 1 中的△ADE 绕 A 点逆时针旋转任意一个角度,(1)中的两个结论是否仍然成立?若成立

请证明,若不成立请说明理由.

7.如图,已知点 E、C 在线段 BF 上,BE=CF,AB∥DE,∠ACB=∠F. 求证:△ABC∽△DEF.

8.如图,点 B、F、C、E 在同一条直线上,点 A、点 D 在直线 BE 的两侧,AB∥DE,AC∥DF,BF=CE,求证: AC=DF.

9.如图,AB∥CD,AB=CD,求证:O 为 AC 的中点.

A

B

O

D

C

10.如图,在△ABC 中,AD 是中线,分别过点 B、C 作 AD 及其延长线的垂线 BE、CF,垂足分别为点 E、F,

求证:BE=CF.

11.如图,四边形 ABCD 中,AB∥CD,AD∥BC,求证:AB=CD,AD=BC.

A

D

B

C

12.如图,在△ABC 中,∠C=90°,点 D 是 AB 边上一点,DM⊥AB 且 DM=AC,过点 M 作 ME∥BC 交 AB 于点 E,

求证:△ABC≌△MED.

M

C

14.如图,在△ABC 中,D 是 BC 边的中点,F、E 分别是 AD 及 A

D

EB

其延长线上的点,请你添加一个条件,使△BDE≌△CDF (不再添加其它线段),并能用“ASA”或 “AAS”公

理进行证明.

(1)你添加的条件是:



(2)证明:

第九讲:全等三角形的判定(三)HL

【知识要点】

1.求证三角形全等的方法(判定定理):①SAS;②ASA;③AAS;④SSS;⑤HL;

需要三个边角关系;其中至少有一个是边;

2.“HL”定理:斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等;

直角三角形除了有证明一般三角形全等的四种方法外,还有特有的 “HL”定理,它其实是直角三

角形所特有的“边边角”定理;它的格式是“HL”四行;

如: 在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中:

A

D

? AC ? DF

? ?

AB

?

DE

∴△ABC∽△DEF.(HL)

C

BF

E

3.“SAS”、“SSS”、“ASA”、“AAS”、“HL”五种基本方法的综合运用.注意学*了“HL”后,不要认为看到直

角三角形就是“HL”.

【例题精讲】 例1. 已知:AD⊥AB,BE⊥AB,CD=CE,C 为 AB 的中点,
求证:∠D=∠E.

A

C

B

D

E

A
练*:如图,AB=AC,BD⊥AC 于点 D,CE⊥AB 于点 E,BD、CE 交于点 F, 求证:AF *分∠BAC.

E

D

F

B

C

例 2.如图,在五边形 ABCDE 中,AB=AE,BC=DE,∠B=∠E,AF⊥CD 于点 F,

求证:F 为 CD 的中点.

B

A E

C FD

练*:1.如图,在△ABC 中,D 为 BC 上一点,过 C 作 AD 的垂线交 AB 于 E 点,O 为垂足,AE=AC,EF∥BC,

求证:CE *分∠DEF.

A

E

F

O

2.如图,点 E、C 在线段 BF 上,AE⊥BF 于点 E,DC⊥BF 于点 F,AE=DC,ABB=DF,求证D:AF=DB.C

A

D

B

E

CF

例 3.如图,已知点 E、C 在线段 BF 上,BE=CF,请再从下列四个等式中:①AB=DE;②AC=DF;③∠A=∠D=90°;

④∠ACB=∠F;⑤∠B=∠DEF.选出两.个.作为条件,推出△ABC≌△DEF.

(1)添加条件①、②构成命题一,命题一是

命题;

(2)添加条件①、③构成命题二,命题二是

命题;

(3)添加条件①、④构成命题三,命题三是

命题;

AD

(4)添加条件①、⑤构成命题四,命题四是

命题;

(5)添加条件②、③构成命题五,命题五是

命题;

(6)添加条件②、④构成命题六,命题六是 (7)添加条件②、⑤构成命题七,命题七是

命题;

命题; B

E

CF

(8)添加条件③、④构成命题八,命题八是

命题;

(9)添加条件③、⑤构成命题九,命题九是

命题;

(10)添加条件④、⑤构成命题十,命题十是

命题.

选择“真”或“假”填入空格.

例 4.如图,矩形 ABCD 中 E 为 AD 的中点,沿 BE 折叠矩形,使 A 点落在 F 点处,延长 BF 交 CD 于点 G,求证:

FG=DG.

A

E

D

G

F

B

C

练*:1.如图,C、D 在线段 AB 上,AC=BD,CE⊥AB 于点 C,DF⊥AB 于点 F,AF=BE,连接 EF 交 AB 于点 P 求 证 P 为 AB 的中点 F

C

A

PD B

E

2.如图,四边形 ABCD 中,AB∥CD,AD=CD,AC⊥AB,求证:AO=OC,OB=OD.

A

D

O

B

C

例 5.如图,E 为∠BAC 的*分线 AD 上一点,连接 BE、CE,DF⊥BE 于点 F,DG⊥CE 于点 G,DF=DG,求证: AB=AC.

练*、如图,四边形 ABCD 中,∠B=∠D=90°,BC=DC,M、N 分别为 DC、BC 延长线上的两点,AM=AN,求证:

∠M=∠N.

A

【课后作业】 1.如图,等腰△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC 于点 D.
求证:(1)AD *分∠BAC;(2)D 为 BC 的中点.

B

D

C

M

N

A

2.如图,∠A=∠C=90°,AB=BC,求证:AD=CD.

B

D

C

C

D

A

B

3.如图,在△ABC 中,D 为 AB 的中点,DE⊥AC 于点 E,DF⊥BC 于点 F,AE=BF,求证:CE=CF. C

E

F

4.已知:如图,正方形 ABCD,BE=CF,求证:(1)AE=BF;(2)AE⊥BF.A

D

B

A

D

F G

B

E

C

5.已知:如图,∠A=∠B=90°,AD=BC,求证:OA=OB. (提示:不能用等腰三角形的性质)

6.如图,AB=CD,AM⊥BD,CN⊥BD,AM=CN,求证:AD=BC.

A

C

BM

ND

7.如图,在△ABC 中,AB=CB,∠ABC=90?,D 为 AB 延长线上一点,点 E 在 BC 上,且 AE=CD.

(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF;

(2)若∠CAE=15?,求∠CDE 度数.

C

E

D

B

A

第十讲:专题二:全等三角形题型训练;
【知识要点】 1.求证三角形全等的方法(判定定理):①SAS;②ASA;③AAS;④SSS;⑤HL;
需要三个边角关系;其中至少有一个是边;
2.“SAS”、“SSS”、“ASA”、“AAS”、“HL”五种基本方法的综合运用.

【例题精讲】

例 1.判断下列命题:

1.(1)全等三角形的对应边、对应角、对应边上的中线、角*分线、高线分别相等.( )

(2)全等三角形的周长、面积分别相等.

()

2.(1)两角及其夹边对应相等的两个三角形全等. (2)两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等. (3)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等. (4)两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等. (5)三边对应相等的两个三角形全等. (6)三个角对应相等的两个三角形全等. (7)两边及其一边上的中线对应相等的两个三角形全等. (8)两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等. (9)两边及其一边上的高对应相等的两个三角形全等. (10)两边及其第三边上的高对应相等的两个三角形全等. (11)两角及其一角的*分线对应相等的两个三角形全等. (12)两角及第三角的*分线对应相等的两个三角形全等. (13)一个角对应相等的两个等边三角形全等. (14)一条边对应相等的两个等边三角形全等. (15)腰对应相等的两个等腰三角形全等. (16)底边对应相等的两个等腰三角形全等.

() () () () () () () () () () () () () () () ()

例 2.如图 1,方格中有△ABC 和 △A1B 1C1 ,且它们可以仅通过*移完全重合,我们称△ABC 和 △A1B 1C1 为
“同一方位”全等三角形. (1)如图 2,方格中有一个△ABC,请你在方格内,画出一个与△ABC 不是“同一方位”的全等三角形

△DEF,并且满足条件:DE=AB,∠A=∠D,AC=DF; (2)你能够画出多少种不同的△DEF?(“同一方位”全等三角形算为一种)

例 3.两边及其一边上的中线对应相等的两个三角形全等.

如图,在△ABC 和△A1B1C1 中,AB=A1B1,BC=B1C1,AD、A1D1 分别为△ABC 和△A1B1C1 的中线,AD=A1D1,求

证:△ABC≌△A1B1C1.

A

A1

B

D

C

B1

D1

C1

例 4.两角及其一角的*分线对应相等的两个三角形全等.

两角及第三角的*分线对应相等的两个三角形全等.

如图,在△ABC 和△A1B1C1 中,∠ABC=∠A1B1C1,∠ACB=∠A1C1B1,AD、A1D1 分别为△ABC 和△A1B1C1 的角*

分线,AD=A1D1,求证:△ABC≌△A1B1C1.

A

A1

B

D

C

B1

D1

C1

例 5.两边及其第三边上的高对应相等的两个锐.角.三.角.形.全等.

如图,在△ABC 和△A1B1C1 中,AB=A1B1,AC=A1C1,AD、A1D1 分别为△ABC 和△A1B1C1 的高线,AD=A1D1,求

证:△ABC≌△A1B1C1.

A

A1

BD

C

例 6.两边及其一边上的高对应相等的两个锐.角.三.角.形.全等.

如图,在△ABC 和△A1B1C1 中,AB=A1B1,BC=B1C1,AD、A1D1 分别为△ABC 和△A1B1C1 的高线,AD=A1D1,求

证:△ABC≌△A1B1C1.

A

A1

B

D

C

B1 D1

C1

例 7.两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.

如图,在△ABC 和△A1B1C1 中,AB=A1B1,AC=A1C1,AD、A1D1 分别为△ABC 和△A1B1C1 的中线,AD=A1D1,求

证:△ABC≌△A1B1C1.

A

A1

B

D

C

B1

D1

C1

练*:1.如图,BD、CE 为△ABC 的两条高线,在 BD 上取一点 F,使 BF=AC,在 CE 的延长线上取一点 G,使

CG=AB, 求证:(1)AG=AF;(2)AG⊥AF.

G

A

E

D

F

B

C

2.如图,已知 A 点的坐标为(4,4),将直角的顶点放在点 A,两直角边分别交两坐标轴的正半轴于 P、Q 两

点..

y

(1)求证:AP=AQ;

A

P

O

Qx

(2)当直角绕 A 点旋转时(始终保持 P、Q 两点在两坐标轴的正半轴),求 OP+OQ 的值;

(3)如图,继续旋转这个直角,使得点 P 在 y 轴负半轴,点 Q 在 x 轴正半轴,

求 OQ-OP 的值.

y

A

O

Qx

P

【课后作业】

1.如图,Rt△ABC≌Rt△DEF,则∠E 的度数为( ).

(A)30°

(B)45°

(C)60°

(D)90°

A C

O

1 2

E

D

B

2.如图,OA=OB,OC=OD,∠1=∠2,则图中的全等三角形有( ).

(A)5 对

(B)4 对

(C)3 对

(D)2 对

3.已知:如图,∠1=∠2,AC=AD,增加下列条件:①AB=AE;②BC=ED; ③∠C=∠D;④∠B=∠E,其中能使△ABC≌△AED 的条件有( ).

MN

(A)4 个

(B)3 个

(C)2 个

(D)1 个

4.如图,已知 MB=ND,∠MBA=∠NDC,下列条件中不.能.判定

AC

BD

△ABM≌△CDN 的是( ).

(A)∠M=∠N (B)AB=CD (C)AM=CN

(D)AM∥CN

6.如图,AB⊥BC,CD⊥BC,垂足分别为 B,C,AB=BC,E 为 BC 的

中点,且 AE⊥BD,垂足为点 F,若 CD=4 ㎝,则 AB=( ).

(A)8 ㎝

(B)6 ㎝

(C)4 ㎝

(D)2 ㎝

5.用直尺和圆规作一个角等于
则利用三角形全等能说 D B

已知角的示意图如下,
D? B明? ∠A?O?B? ?∠AOB

O

C A O?

C? A?

的依据是( ). (A)SSS

(B)SAS

(C)ASA

(D)AAS

7.如图,D、E 是△ABC 的边 AC、BC 上的点,△ADB≌△EDB≌△EDC,下列结论:①AD=ED;②BC=2AB;③∠

1=∠2=∠3;④∠4=∠5=∠6.其中正确的有( ).

(A)4 个

(B)3 个

(C)2 个

(D)1 个

二、填一填

8.如图,∠A ?∠D,AC ? DF ,则需要补充条件:

A

D

(写出一个即可),才能使

△ABC ≌△DEF .

B

CE

F

9.如图,一块三角形玻璃裂成甲、乙、丙三块,要去玻璃店配一块同样形状和大小的玻璃,可只带三块碎

片中的

块,所配的三角形玻璃与原来一样的几何原理是

.

10.如图,在△ABD 和△ACE 中,有下列四个论断:①AB=AC;②AD=AE;③∠B=∠C;④BD=CE,请以其中三

个作为条件,余下一个作为结论,写出一个真命题是

,(用序号 ? ?? ? ? 的形式

写出.)

甲 乙丙

11.如图,要测量河岸相对的两点 A、B 之间的距离,先从 B 处出发与 AB 成 90°角方向,向前走 50 米到 C 处立一根标杆,然后方向不变继续朝前走 50 米到 D 处,在 D 处转 90°沿 DE 方向再走 17 米,到达 E 处, 使 A、C 两点与点 E 在同一直线上,那么测得 A、B 的距离为___________米.
三、解答题 12.工人师傅常用角尺*分一个任意角,做法如下:如图,∠AOB 是一个任意角,在边 OA、OB 上分别取 OM=ON,
移动角尺,使角尺两边相同的刻度与 M、N 重合,过角尺顶点 C 的射线 OC 便是∠AOB 的*分线,请说明 理由.

13.如图,Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AC=2AB,AD⊥BC 于点 D,E 为 AC 边的中点,连接 BE 交 AD 于点 F,过 点 E 作 BE 的第一线交 BC 于点 G,求证:AF=CG.

B
D

F

G

A

E

C

第十一讲:专题三:全等三角形知识点扩充训练;
1.如图, A, F, E, B 四点共线, AC ? CE , BD ? DF , AE ? BF , AC ? BD 。求证: ?ACF ? ?BDE 。
2.如图,在 ?ABC 中, BE 是∠ABC 的*分线, AD ? BE ,垂足为 D 。求证: ?2 ? ?1? ?C 。
3.如图,在 ?ABC 中, AB ? BC ,?ABC ? 90 。 F 为 AB 延长线上一点,点 E 在 BC 上, BE ? BF ,连接 AE, EF 和 CF 。求证: AE ? CF 。
4.如图, AB // CD , AD // BC ,求证: AB ? CD 。
5. 如图, AP,CP 分别是 ?ABC 外角 ?MAC 和 ?NCA 的*分线,它们交于点 P 。求证:BP 为 ?MBN 的* 分线。

6.如图,D 是 ?ABC 的边 BC 上的点,且 CD ? AB ,?ADB ? ?BAD,AE 是 ?ABD 的中线。求证:AC ? 2AE 。
7.如图,在 ?ABC 中,AB ? AC ,?1? ?2 ,P 为 AD 上任意一点。求证: AB ? AC ? PB ? PC 。

8.直线 CD 经过 ?BCA 的顶点 C,CA=CB.E、F 分别是直线 CD 上两点,且 ?BEC ? ?CFA ? ?? . (1)若直线 CD 经过 ?BCA 的内部,且 E、F 在射线 CD 上,请解决下面两个问题:

①如图 1,若 ?BCA ? 90 , ?? ? 90 ,则 EF

BE ? AF (填“ ? ”,“ ? ”或“ ? ”号);

②如图 2,若 0 ? ?BCA ? 180 ,若使①中的结论仍然成立,则 ?? 与 ?BCA 应满足的关系是



(2)如图 3,若直线 CD 经过 ?BCA 的外部, ?? ? ?BCA ,请探究 EF、与 BE、AF 三条线段的数量关系,并给予证明.

B

B

B

FD E

C

A

图1

EF D C
A 图2

E

A

C
F D
图3

9.已知:

如图,△

ABC 中,∠ABC=45°,CD⊥AB 于 D,BE *分∠ABC,且 BE⊥AC 于 E,与 CD 相交于点 F,H 是 BC 边的中点,

连结 DH 与 BE 相交于点 G。
(!)求证:BF=AC;
(2)求证:CE= 1 BF; 2
(3)CE 与 BC 的大小关系如何?试证明你的结论。

10.如图,△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形,A,C,D 三点在同一直线上,连结 BD,AE, 并延长 AE 交 BD 于 F.(1)求证:△ACE≌△BCD.(2)直线 AE 与 BD 互相垂直吗?证明你的结 4.如图,在四
边形 ABCD 中,AB=BC,BF 是∠ABC 的*分线,AF∥DC,连接 AC、CF,求证:CA 是∠DCF 的*分线。
B
EF

A

C

D

11.如图甲,在△ABC 中,∠ACB 为锐角.点 D 为射线 BC 上一动点,连接 AD,以 AD 为一边且在 AD 的

右侧作正方形 ADEF.

解答下列问题:

(1)如果 AB=AC,∠BAC=90?.

①当点 D 在线段 BC 上时(与点 B 不重合),如图乙,线段 CF、BD 之间的位置关系为



数量关系为



②当点 D 在线段 BC 的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么?

F

A F

BD

EC

图甲

E

A

A

F

BD

C E

B

图乙

第 28 题图

CD
图丙

(2)如果 AB≠AC,∠BAC≠90?,点 D 在线段 BC 上运动. 试探究:当△ABC 满足一个什么条件时,CF⊥BC(点 C、F 重合除外)?画出相应图形,并说明 理由.(画图不写作法)

12.数学课上,张老师出示了问题:如图 1,四边形 ABCD 是正方形,点 E 是边 BC 的中点. ?AEF ? 90 ,

且 EF 交正方形外角 ?DCG 的*行线 CF 于点 F,求证:AE=EF.
经 过 思 考, 小 明展 示 了一 种 正 确的 解 题思 路 :取 AB 的 中点 M, 连接 ME ,则 AM=EC ,易证
△AME≌△ ECF,所以 AE ? EF .
在此基础上,同学们作了进一步的研究:
(1)小颖提出:如图 2,如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上(除 B,C 外)的任意一 点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程; 如果不正确,请说明理由;
(2)小华提出:如图 3,点 E 是 BC 的延长线上(除 C 点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF” 仍然成立.你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由.

A

D

A

D

F

A

D

F

F

B

EC

G

图1

B

EC

G

图2

B

CE G

图3

13.已知:如图在 ABCD 中,过对角线 BD 的中点 O 作直线 EF 分别交 DA 的延长线、AB、DC、BC 的

延长线于点 E、M、N、F.

观察图形并找出一对全等三角形:△ ________≌ △ ____________,

以证明;

A E

请加 D

A E
M O
B

D

N

C

F

M O
B

N F
C

(1)如图 7,点 O 是线段 AD 的中点,分别以 AO 和 DO 为边在线段 同侧作等边三角形 OAB 和等边三角形 OCD,连结 AC 和 BD,相交于点 E,连结 BC.
求∠AEB 的大小;

C

B

E

B C
E

AD 的

D

O

A

O

A

图7

D

图8

(2)如图 8,Δ OAB 固定不动,保持Δ OCD 的形状和大小不变,将Δ OCD 绕着点 O 旋转(Δ OAB 和Δ OCD 不能重叠),求∠AEB 的大小.

第十二讲:角*分线的性质定理及逆定理

第一部分【能力提高】

一、如图,△ABC 的内角∠BAC 的*分线和外角∠DBC 的*分线交于点 O,连接 CO,求证:CO *分△ABC 的

外角∠BCE.

E

C O

A

B

D

二、(1)如图,B 为∠MAN 的*分线上一点,BC=BD,AC≠AD,求证:∠ACB+∠ADB=180°; M

C

B

A

DN

(2)如图,B 为∠MAN 的*分线上一点,AC≠AD,∠ACB+∠ADB=180°,求证:BC=BD; M

C

B

A (3)如图,AC≠AD,∠ACB+∠ADB=180°,BC=BD,求证:AB *分∠MAN.

DN M

C

B

A

DN

三、已知:如图,AB⊥AD,AC⊥AE,AB=AC,AD=AE,求证:(1)BD=CE;(2)AF *分∠BFE.

D

F

E

C

B

A

四、如图,AD∥BC,AE *分∠BAD,BE *分∠ABC,E 点在线段 DC 上. 求证:①AE⊥BE;②E 为 CD 的中点;③AD+BC=AB.

五、如图,△ABC 中,∠A=60°,∠ABC、∠ACB 的*分线 BD、CE 交于点 P.

(1)请直接写出∠BPC 的度数为



(2)求证:①BE+CD=BC;②PD=PE.

A

E

PD

B

C

第二部分【综合运用】

六、如图,等腰 Rt△ABC 和等腰 Rt△DEC 中,AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=90°.

(1)求证:AD=BE;

A

E

(2)延长 BE 交 AD 于点 F,求证:BF⊥AD;

D

C

B

(3)如图,连接 CF,求∠BFC 的度数;

A FE

D

C

B

(4)如图,M、N 分别为 AD、BE 的中点,求证:①CM=CN;②CM⊥CN.

(△CMN 为等腰直角三角形)

A

ME N

D

C

B

七、如图,在*面直角坐标系中,B 点的坐标为(-2,0),C 点的坐标为(2,0),A 为 y 轴正半轴上一点. (1)求证:AB=AC;

(2)D 为第二象限内的一点,∠BDC=∠BAC,求证:AD *分∠PDC;

y

P

A

D

BO

Cx

(3)如图,AH⊥CD 于点 H,在(2)的条件下,当 D 点运动时,试问: DC ? DB 的值是否改变?若不 DH

变请求其值;若改变请说明理由.

y

A

D H

BO

Cx

第 12 讲 作 业
1.用三角尺可按下面方法画角*分线,在已知∠AOB 的两边上分别取 OM=ON(如图 24.10),再分别过 M、 N 作 OA、OB 的垂线,交点为 P,画射线 OP,则 OP 是∠AOB 的*分线.试说明理由.

2.如图,P 为△ABC 的角*分线的交点,PD⊥AC,PE⊥AB,PF⊥BC.

(1)求证:AD=AE;

A

(2)若 AB=10,BC=8,AC=6,求 AD、BF、CE 的长度.

D PE

B

F

C

3.如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,∠BAC、∠ABC 的*分线交于点 I,ID⊥AB 于点 D.

①求证:ID= 2S (S 为△ABC 的面积,C 为△ABC 的周长);

A

C

②求证:ID= a ? b ? c (a、b、c 分别为△ABC 的三边长); 2

③求证:AD-BD=AC-BC.

D

I

C

B

第十三讲:轴对称
第一部分【能力提高】 一、 上图中的图形都是轴对称图形,请你试着画出它们的对称轴.

二、如图,△ABC 与△ADE 关于直线 MN 对称,BC 与 DE 的交点 F 在直线 MN 上.?M

①指出两个三角形中的对称点;

A

②图中还有对称的三角形吗?

E

C

F

B

N

D

三、如已知等腰三角形 ABC,AB 边的垂直*分线交 AC 于 D,AB=AC=8,BC=6,求△BDC 周长.

四、三角形三边垂直*分线的必交于一点. 如图,在△ABC 中,边 AB 和 AC 的垂直*分线 MP、MQ 交于点 M,求证:M 必在线段 BC 的垂直*分线上. A

P

Q

M

B

C

五、如下图小河边有两个村庄,要在河对岸建一自来水厂向 A 村与 B 村供水,?要符合条件: (1)若要使厂部到 A、B 的距离相等,则应选在哪儿? (2)若要使厂部到 A 村、B 村的水管最省料,应建在什么地方?

第二部分【综合运用】

六、(1)在图中所示编号为①、②、③、④的四个三角形中,关于 y 轴对称的两个三角形的编号



;关于 x 轴对称的两个三角形的编号为



(2)在图 4 中,画出与△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1

y

y

5

5

4

4

(2)

3

(1)

3

2

2

1

1

-5 -4 -3 -2 -1 O -1

-2

(3)

-3

-4

-5

1 2 3 4 5 x-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x

-1

A

-2

(4)

-3 B

-4 C

-5

七、如图,AM *分∠PAQ,B 为 AM 上任一点,BC⊥AP 于点 C,BD⊥AQ 于点 Q,求证:AB 垂直*分线段 CD. P

C

BM

八、如图,△ABC 中,∠BAC 的*分线交边 BC 的垂直*分线 PQ 于A点 P.

(1)求证:AB-AC=2BH;

(2)求 AB ? AC 的值.

C

AH

A

D

Q

P

Q HB

第 13 讲 作 业

一.选择题

1.国旗是一个国家的象征,观察下面的国旗,是轴对称图形的是( ).

(A)加拿大、哥斯达黎加、乌拉圭

(B)加拿大、瑞典、澳大利亚

(C)加拿大、瑞典、瑞士

(D)乌拉圭、瑞典、瑞士

加拿大 哥斯达黎加 澳大利亚 乌拉圭

瑞典

瑞士

2.对称现象无处不在,请你观察下面的四个图形,它们体现了中华民族的传统文化,

其中,可以看作是轴对称图形的有( ).

(A)1 个

(B)2 个

(C)3 个

(D)4 个

3.下列图形中,不是轴对称图形的是( ).

(A)一条线段

(B)两条相交的直线

(C)有公共端点的两条相等的线段

(D)有公共端点的两条不相等的线段

4.下列图形中,不是轴对称图形的是(

(A)*行四边形

(B)长方形

5.下列说法错误的是 ( )

). (C)正方形

(D)圆

(A)关于某条直线对称的两个三角形一定全等 (B)轴对称图形至少有一条对称轴

(C)全等三角形一定能关于某条直线对称

(D)角是关于它的*分线对称的图形

6. 下列命题中,不正确的是( ).

(A)关于直线对称的两个三角形一定全等.

(B)两个大小一样的圆形纸片随意*放在水*桌面上构成轴对称图形.

(C)若两图形关于直线对称,则对称轴是对应点所连线段的垂直*分线.

(D)等腰三角形一边上的高、中线及这边对角*分线重台. 7.图中是一个经过改造的台球桌面的示意图,图中四个角上的阴影 1 号袋

2 号袋

部分分别表示四个入球孔.如果一个球按图中所示的方向被击出(球

可以经过多次反射),那么该球最后将落入的球袋是( ).

(A)1 号袋 (B)2 号袋

(A)3 号袋

(D)4 号袋

4 号袋

3 号袋

8.在*面直角坐标系中,点(3,4)关于 x 轴对称点的坐标是( ).

(A)(4,3) (B)(3,-4) (C)(-3, 4) (D)(-3,-4)

9.如图,六边形 ABCDEF 是轴对称图形,CF 所在的直线是它的对称轴,若∠AFC+∠BCF=150°,则∠AFE+∠BCD

的大小是( (A)150°

). (B)300°

(C)210°

(D)330°

F

A

E

BC

D

10.下列图形中,△A’B’C’与△ABC 关于直线 MN 成轴对称的是( ).

11.在*面直角坐标系中,将点 A(1,2)的横坐标乘以-1,纵坐标不变,得到点 A? ,则点 A 与点 A? 的关

系是( ).

(A)关于 x 轴对称

(B)关于 y 轴对称

(C)关于原点对称

(D)将点 A 向 x 轴负方向*移一个单位得点 A?

12.如图,Rt△ABC 中,∠B=90°,AB=3,BC=4,AC=5,将△ABC 折叠,使点 C 与 A 重合,得折痕 DE,则△

ABE 的周长等于( ).

(A)9cm

(B)8cm

(C)7cm

(D)12

13.如图,是用*行四边形纸条沿对边 AB、CD 的中点 E、F 所在直线折成的 V 字形图案,已知图中∠1=68°, 则∠2 的度数为( ).

(A)56° A

(B)44°

(C)68° BC A D

(D)52° A

EB

D

BE

C

2 1
EF

F

C

D

14.如图,是一个风筝的图案,它是轴对称图形,量得∠AEB=140°,AC⊥AE,∠C=60°,则∠CFD 的度数

为( ).

(A)140°

(B)150°

(C)160°

(D)170°

15.如图,把矩形 ABCD 沿 EF 对折,若∠1=50°,则∠AEF 等于( ).

(A)115°

(B)130°

(C)120°

(D)65°

16 如图,将矩形 ABCD 沿 AE 折叠,若∠BAD′=20°,则∠CED′等于( ).

(A)40°

(B)50°

(C)60°

(D)70°

17.图,将五边形 ABCDE 按如图方式折叠,折痕为 AF,点 E、D 分别落在点 E? 、 D? .已知∠AFC=76°,则

∠ CFD?等于( ).

(A)31°

(B)28°

(C)24°

(D)22°

A

B

E

E'

C

D' F D

18.把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换,再沿着与这条直线*行的方向*移,我们把这样的图形

变换叫做滑.动.对.称.变.换..在自然界和日常生活中,大量地存在这种图形变换(如图 1).结合轴对称变

换和*移变换的有关性质,你认为在滑.动.对.称.变.换.过程中,两个对应三角形(如图 2)的对应点所具有

的性质是( ).

A

(A)对应点连线与对称轴垂直 (B)对应点连线被对称轴*分 (C)对应点连线被对称轴垂直*分 (D)对应点连线互相*行 二.填空题

C

A?

B

C?

B?

图1

图2

19.把一个图形沿某一条直线_________,如果它能够与另一个图形________,?那么就说这两个图形关于这

条直线____________.

20. 角的对称轴是

.线段是轴对称图形,有

条对称轴,对称轴



.

21.如果一个图形沿某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互

B

相重合,这个图形就叫做__________.

D

22.如图,在△ABC 中,AC=8cm,ED 垂直*分 AB,若△EBC 的

周长是 14cm,那么 BC 的长度为



三.解答题

C

A

E

23.如图,△ABC 在*面直角坐标系中.

(1)写出 A、B、C 三点的坐标.

(2)若△ABC 各顶点的横坐标不变,纵坐标都乘以-1,?请你在同一坐标系中描出对应的点 A′、B′、

C′,并依次连接这三个点,所得的△A′B′C′与原△ABC有怎样的位置关系?

(3)在②的基础上,纵坐标都不变,横坐标都乘以-1,?在同一坐标系中描出对应的点 A″、B″、C″,

并依次连接这三个点,所得的△A″B″C″与原△ABC有怎样的位置关系?

第十四讲:等腰三角形;

第一部分【能力提高】

一、①如图,等腰△ABC 中,AB=AC,求证:∠B=∠C;

②如图,等腰△ABC 中,AB=AC,D 为 BC 的中点,求证:①AD⊥BC;②AD *分∠BAC;

③如图,等腰△ABC 中,AB=AC,AD *分∠BAC,求证:①AD⊥BC;②BD=CD;

④如图,等腰△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC,求证:①BD=CD;②AD *分∠BAC;

⑤如图,在△ABC 中,∠B=∠C,求证:AB=AC;

A

⑥如图,在△ABC 中,BD=CD,AD⊥BC,求证:AB=AC;

⑦如图,在△ABC 中,AD⊥BC,AD *分∠BAC,求证:AB=AC;

⑧如图,在△ABC 中,BD=CD,AD *分∠BAC,求证:AB=AC;

等腰三角形的性质:

等腰三角形的判定:

B

D

C

二、在△ABC 中,∠B、∠C *分线的交点 P 恰好在 BC 边的高 AD 上,求证:AB=AC.
A

P

BDC

三、如图,五边形 ABCDE,AB=AE,BC=DE,∠B=∠E,F 为 CD 边的中点,求证:AF⊥CD.

A

B

E

CFD

四、如图,△ABC 中,AB、AC 边的垂直*分线 PQ、MN 交于点 D. (1)若∠BAC=100°,求∠QAN 的度数; (2)若∠D=80°,求∠QAN 的度数.
B

A

P

M

QN

C

D

五、如图,AD 为△ABC 的*分线,AD 的垂直*分线交直线 BC 于点 F,求证:∠CAF=∠B. A

E

B

DC

F

六、如图,等腰△ABC 中,AB=AC,AD *分∠BAC,DE∥AB 交 AC 于点 E,求证:AE=CE. C

E

D

A

B

七、如图,在等腰△ABC 中,AB=AC,H 为 BC 上一点,过 H 作 BC 的垂线分别交 AC 的延长线、AB 于 D、E 两

点,求证:AD=AE.

D

A

E

BH

C

八、如图,在△ABC 中,AD *分∠BAC,H 为 BC 上一点,过 H 作 AD 的*行线分别交 AC 的延长线、AB 于 E、

F 两点,求证:AE=AF.

E

A F

B HD

C

第二部分【综合运用】

九、如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D 点,AF *分∠BAC 交 CD 于 E 点,交 BC 于 F 点, EG

∥AB 交 BC 于 G 点, (1)求证:CE=CF; (2)求证:CF=BG.

C

F

E

G

A

D

B

十、如图,等腰三角形△ABC,AB=AC,D、E、F 分别在边 BC、AC、AB 上,且 BD=CE,CD=BF.

(1) 设∠A=40°,求∠EDF 的度数;

(2) 设∠A=m°,则∠EDF 的度数为

;(用含 m 的代数式表示)

(3) 若 G 为 EF 的中点,连结 DG,求证:DG⊥EF.

A

F E

B

DC

第 14 讲 作 业

一、选择题

1.如果三角形的重心在它的一条高线上,则这个三角形必为( ).

(A)直角三角形

(B) 等边三角形

(C) 等腰三角形

(D) 等腰直角三角形

2.如果三角形的一条外角*分线*行于三角形的一条边,则这个三角形必为( ).

(A)直角三角形

(B) 等边三角形

(C) 等腰三角形

(D) 等腰直角三角形

3.等腰三角形的某个内角的外角是 130°,那么这个三角形的顶角的度数是( ).

(A)80°

(B)50°

(C)80°或 130°

(D) 80°或 50°

4.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠B=36°,D、E 在 BC 上,且∠ADE=∠AED=2∠BAD,则图中等腰三角形的个

数是( ).

(A)3

(B) 4

(C) 5

(D) 6

5.已知:如图,在△ABC 中,AB=AC,CD⊥AB 交 AB 于 D,∠ABC 的*分线 BE 交 CD 于 E 点,若∠A=40°,

则∠BEC=( ).

(A)125°

(B) 145° (C) 110° (D) 160°

6.如图,在△ABC 中,AB=AC,D 在 AB 上,DE⊥AC 于 E 点,EF⊥BC 于 F 点,若∠BDE=140°,则∠DEF=( ).

(A)55°

(B) 60°

(C) 65°

(D) 70°

A A

A
E

D DE

B

DE

C

B

C

B

FC

A

D

B

C

(第 4 题图)

(第 5 题图)

(第 6 题图)

A (第 7 题图)

7.如图,等腰△ABC 中,AB=AC,∠A=36°,BD *分∠ABC,若△ABD 的

周长比△BCD 的周长多 1cm,则 BD 的长为( ).

(A) 1 cm 2

(B)1cm

(C) 3 cm 2

(D)2cm

8.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC、∠ACB 的*分线相交于 D 点,

若∠ADC=130°,则∠BAC=( ).

D

B

C

(A)80°

(B) 50°

(C) 40°

(D) 20°

A

二、填空题

9.一个等腰三角形的周长为 12,且三边长为整数,

则此等腰三角形的腰长

.

10.如图,在等腰△ABC 中,AB=AC,D、E 分别在 AC、AB 上,

D E

AD=DE=EB,BD=BC,则∠A=

.

B

C

11.已知等腰三角形有一个内角为 50°,则另两个角的度数分别为

.

12.如图,在等腰△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC 于 D 点,在 BC 上取 CE=CA,连结 AE,若 AE=EB,则∠DAE=

.

13.如图,等腰△ABC 中,AB=AC,若 BC=CD=DE=EF=FG=GA,则∠A= .

14.如图,在等腰△ABC 中,AB=AC,D 为 BC 上一点,BE=BD,CF=CD,

A

∠A=40°,则∠EDF=

.

A

EC

E

G

F

B ED

CA

F

DB

B

DC

(第 12 题图)

(第 13 题图)

(第 14 题图)

三、解答题

15.如图,在△ABC 中,∠ABC、∠ACB 的*分线交于点 D,过点 D 作 BC 的*分线交 AB、AC 于 E、F 两点,

求证:BE+CF=EF. A

E

DF

B

C

16.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=36°,AC 的垂直*分线交 AB 于 E,D 为垂足,连结 EC. (1)求∠ECD 的度数; (2)若 CE=5,求 BC 长.

第十五讲:等腰直角三角形

如图,在等腰 Rt△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,AD⊥BC 于点 D.

A

基本性质:1.边:AB=AC,DA=DB=DC= 1 BC; 2

2.角:∠BAC=∠ADB=∠ADC=90°;

∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°;

B

D

C

3.形:等腰 Rt△ABC,等腰 Rt△ABD,等腰 Rt△ACD.

第一部分【能力提高】

一、如图,M 为等腰 Rt△ABC 斜边 BC 的中点,D 为 AB 上一点,ME⊥MD 交直线 AC 于点 E.

(1)求证:MD=ME;

A

D

E

B

M

C

其它结论:①AD+AE=AB;②BD+CE=AB;③△MDE

为等腰直角三角形;④ S四ADME

?

1S 2

ABC

.

(2)如图,若 D 为 AB 反向延长线上一点,其它条件不变, 请完成图形并探究(1)中的结论.

D

A

二、如图,已知点 D 为等腰直角△ABC 内一点,∠CAD=∠CBD=15B°,E 为 AD 延M长线上的一C点,且 CE=CA. (1)求证:DE *分∠BDC; (2)若点 M 在 DE 上,且 DC=DM,求证:ME=BD.

三、如图,M 为等腰 Rt△ABC 直角边 AC 的中点,AE⊥BD 交 BC 于点 E,连结 DE.

(1)求证:①∠ADB=∠CDE;②AE+DE=BD;

A

D

B

E

C

(2)如图 2,若 AM=CN,AE⊥BM 交 BC 于点 E,BM、EN 交于点 P. 求证:①∠AMB=∠CNE;②AE+PE=BP.
B

A

P

M

N

EC

四、如图 1,在等腰 Rt△ABC 中,D 为直线 BC 上一点,过点 D 作 AD 的垂线 DE,过点 B 作 AB 的垂线 BE.

(1)求证:AD=DE;

A

E

C

DB

图1

(2)拓展变化一:图形的演变(纵深演变)

如图 2 和图 3 中,当 D 分别在 BC 的延长线或反向延长线上时,求证:AD=DE;

E

A

A

C

D

D

C

B

(3)拓展变化二:条件的演变(横向演变)

如图 4,图 5,图 6 中,等腰 Rt△ABC 中,D 为直线 BC 上一点,以 AD 为腰作等腰 Rt△ADE,连接

BE,求证 AB⊥BE. A

A E

E

A

CD

B

图4

C

BD

图5

D

C

B

E
图6

第二部分【综合运用】

五、(1)如图,等腰 Rt△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°,P 为△ABC 形外一点,∠APB=90°,求证:∠APC=

∠BPC=45°;

C

A

B

(2)如图,等腰 Rt△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°,P 为△ABC 形外一点,∠APC=45°,求证:∠APB=90°; C

A

B

(3)如图,等腰 Rt△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°,P 为△ABC 形外一点,CP *分∠APPB,求证:∠APB=90°

(∠APC=∠BPC=45°);

C

A

B

P

(4)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,P 为△ABC 形外的一点,∠APC=∠BPC=45°,求证:AC=BC; C

A

B

P

(5)如图,在等腰△ABC 中,AC=BC,P 为△ABC 形外的任一点,且∠APC=∠BPC=45°,求证:∠ACB=90°; C

A

B

(6)如图,在(1)~(5)的条件下,过 C 作 CH⊥AP 于点 H. 求证:①PA+PB=2PH;②PA-PB=2AH;

P C

A H

B P

(7)如图,当 P 点、C 点在直线 AB 的同侧,类同(1)~(6)的条件、结论,进行探究. C P

H

A

B

六、如图,以任意△ABC 的两边 AB、AC 为腰作两个等腰 Rt△ABD 和等腰 Rt△ACE,连接 BE、CD 交于点 O.

(1)求证:BE=CD;

D

(2)求∠BOC 的度数;

(3)连接 AO,求证:AO *分∠DOE;

A

E

O

B

C

(4)M、N 分别为 CD、BE 的中点,判断△AMN 的形状,并证明你的结论. D

M

A

E

N

B

C

第十六讲:等边三角形(一);

第一部分【能力提高】

一、如图,在等腰 Rt△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°,分别以 AC、BC 为边作等边△ACD、等边,求∠BED 的

度数.

A E

D

C

B

二、如图,D 为等边△ABC 内一点,AD=BD,∠CBD=∠EBD,BE=BC,求∠E 的度数. A
E

D

B

C

三、如图,在等边△ABC 中,D、E 分别在边 BC、AC 上,且 BD=CE,AD、BE 交于 F 点.

(1)求证:AD=BE;

A

(2)过 E 作 EH⊥AD 于点 H,求 HF 的值; EF

E F

BD

C

四、如图,△ABC 中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AC 交 BC?于点 D,?求证:?BC=3AD. A

B

D

C

五、如图,已知∠ABC=90°,△ABE 是等边三角形,点 P 为射线 BC 上任意一点(点 P 与点 B 不重合),连结 AP,将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 60°得到线段 AQ,连结 QE 并延长交射线 BC 于点 F,当点 P 在 BC 上 运动时,猜想∠QFC 的度数是否改变?证明你的结论.

六、如图,等边△ABC 中,D 为 AC 的中点,E 为 BC 延长线上一点,DB=DE.

(1)求证:AD=CE;

A

D

B

C

E

(2)若 D 为 AC 边上任意的一点,其它条件不变,(1)中的结论是否仍然成立?证明你的结论. A
D

B

CE

第二部分【综合运用】

七、(1)如图,等边△ABC,P 为形外一点,∠BPC=120°.

求证:①∠APB=∠APC=60°;②PB+PC+PA.

A

B

C

P

(2)如图,等边△ABC,P 为形外一点,∠APB=60°.

求证:①∠APC=60°;②PB+PC+PA.

A

B

C

P

(3)如图,等边△ABC,P 为形外一点,AP *分∠BPC.

A

求证:①∠APB=∠APC=60°;②PB+PC+PA.

B

C

P

(4)如图,在△ABC 中,∠BAC=60°,P 为形外一点,∠APB=∠APC=60°. A 求证:①△ABC 为等边三角形;②PB+PC+PA.

(5)如图,等腰△ABC 中,AB=AC,P 为形外一点,∠APB=∠APC=B60°. 求证:①△ABC 为等边三角形;②PB+PC+PA.

C A
P

B

C

P

(6)如图,在△ABC 中,∠ABC=60°,P 为形外一点,∠APB=∠APC=60°. A 求证:①△ABC 为等边三角形;②PB+PC+PA.

B

C

P

第 16 讲 作 业

一.选择题

1.下列三角形:①有两个角等于 60°;②有一个角等于 60°的等腰三角形;?③三个外角(每个顶点处各

取一个外角)都相等的三角形;?④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中能判定该三角

形是等边三角形的有( ).

(A)①②③

(B)①②④

(C)①③

(D)①②③④

2.已知直角三角形中 30°角所对的直角边为 2 ㎝,则斜边的长为( ).

(A)2 ㎝

(B)4 ㎝

(C)6 ㎝

(D)8 ㎝

3.Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高,∠B=30°,AD=2cm,则 AB 的长度是( ).

(A)2cm

(B)4cm

(C)8cm

(D)16cm

4. 在△ABC 中,∠B=30°,∠C=45°,AD⊥BC 于 D,CD=2CM,则 AB 长为(

(A)2cm

(B)3cm

(C)4cm

(D)5cm

5.如图,Rt△ABC 中,∠A=30°,BD *分∠ABC,若 AD=8,

).
C
D

则 CD=( ).

(A)2cm

(B)3cm

(C)4cm

(D)5cm

A

B

6.等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半,则其顶角等于( ).

(A)30° (B)30°或 150° (C)120°或 150° (D)30°或 120°或 150°

二.填空题

7.△ABC 中,∠B=∠C=15°,AB=2cm,CD⊥AB 交 BA 的延长线于点 D,?则 CD?的长度是_______.

8.如图 C 为线段 AB 上的一点,分别以 AC、BC 为边在 AB 的同侧作等边△ACD 和等边△BCE,连结 CD,且 CD

⊥DE,若 AB=9,则 AC=_______.

9.如图,△ABC 中,AB=AC,∠A=120°,AB 的垂直*分线交 BC 于 D,若 BC=12,则 DE=_______.

10.如图,等边△ABC 中,AC=9,AO=3,P 为 AB 上的一个动点,将线段 OP 绕 O 点逆时针顺序旋转 60°得到

线段 OQ,要使点落在 BC 上,则 AP 的长为_______.

C

A

E

E

D

Q

O

B

D

三、解答题

C AC

B

A

P

B

11.如图,D、E、F 分别在等边△ABC 的三边上,且 AD=BE=CF,求证:△DEF?为等边三角形.

12.如图,D、E、F 分别是等边△ABC 各边上的点,且 AD=BE=CF,连接 AF、BD、CE 分别交于 M、N、P 三点,
求证:△PMN 为等边三角形. A

D M

E N
B

P FC

13.如图,E 是等边△ABC 中 AC 边上的点,∠1=∠2,BE=CD,求证:△ADE 为等边三角形.

A

D

1
B

E2 C

14. 如图,△ABC 中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AC 交 BC?于点 D,?求证:?BC=3AD. A

B

D

C

第十七讲:等边三角形(二)

第一部分【能力提高】

一、如图,D 为等边△ABC 边 BC 上任一点,以 AD 为边作等边△ADE.

(1)求证:CD+CE=AC;

(2)求∠ACE 的度数.

A

E

B

DC

转化发散:如图,若 D 为等边△ABC 边 BC 延长线上(或反向延长线上)任一点,其它条件不变,试问:结

论(1)、(2)是否仍然保持不变?

A

E

A

D

B

C

B

CD

E

二、如图,D 为等边△ABC 边 BC 上任一点,∠ADE=∠ACE=60°,求证:△ADE 为等边三角形;

A

E

B

DC

转化发散:如图,若 D 为等边△ABC 边 BC 延长线上(或反向延长线上)任一点,其它条件不变,试问:结

论(1)、(2)是否仍然保持不变?

A

E

A

D

B

C

B

CD

E

三、如图,A 为线段 BC 上的一点,AB>AC,以 AB、AC 为边在直线 BC 的同侧作等边△ABD、等边△ACE、连

结 DE,以 DE 为边向形外作等边△DEF,点 G 在 AD 上,且 AG=AE.

(1)求证:△EFG≌△GBA;

F

(2)求证:△BDG≌△FGD;

D

G

E

B

AC

四、 如图,等边△ABC 中,AB=2,点 P 是 AB 边上的任意一点(点 P 可以与点 A 重合,但不与点 B 重合),

过点 P 作 PE⊥BC,垂足为 E,过 E 作 EF⊥AC,垂足为 F,?过点 F?作 FQ⊥AQ,垂足为 Q,设 BP=x.

(1)请用 x 的代数式表示 AQ 的长度,写出你的理由;

A

(2)当 BP 的长等于多少时,点 P 与点 Q 重合?

Q

P

F

B

E

C

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第二部分【综合运用】

五、如图,等边△ABC 中,D、E 分别在边 BC、AC 上,且 BD=CE,AD、BE 交于 F 点,连接 CF.

(1)若 CF⊥AD,求证:AF=2BF;

A

(2)连接 CF,若 AF=2BF,求证:CF⊥AD;

E F

BD

C

A

E F

六、如图,在△ABC 中,∠B=45°,D 为 BC 上一点,∠ADC=60°,CD=2BD,求∠C 的度数. A

BD

C

七、操作与实验: 如图,边长为 1 的等边△ABC,△BCD 为顶角为 120°的等腰三角形,将一个含 30°直角三角板的 60° 角的顶点放在 D 点,三角板绕 D 点旋转,使 60°角的两个夹边分别交 AB、AC 于 P、Q 两点(三角板的 边足够长). 试问: 当三角板绕 D 点旋转时,△APQ 的周长是否发生变化?证明你的结论;

A

Q P

八、操作与实验:

B

C

如图, 已知等边三角形 ABC 中,点 D,E,F 分别为边 AB,AC,BC 的中D点,M 为直线 BC 上一个动点,

以 DM 为边作等边三角形△DMN(点 D、M、N 为逆时针顺序).

(1)如图 1,当点 M 在点 B 左侧时,请你判断 EN 与 MF 有怎样的数量关系?点 F 是否在直线 NE 上?都.

请.直.接.写出结论,不必证明或说明理由; (2)如图 2 和图 3,当点 M 在 BC 上时,其它条件不变,(1)的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成

立?若成立,请利用图 2 或图 3 选择其中的一个证明;若不成立,请说明理由;

A

A

A

N

D

E

D E

D

E

B M

FC

B F MC

N

B MF

C

N
图1

图2

图3

九、在△ABC 中,∠BAC=60°. ①如图 1,D 为 AC 边上的一点,以 BD 为边作等边△BDE(点 B、D、E 按顺时针顺序),O 为等边△BDE 中∠EBD、∠EDB 的角*分线的交点,则∠OAB=________; ②如图 2,D 为 CA 延长线上的一点,以 BD 为边作等边△BDE(点 B、D、E 按顺时针顺序),O 为等边△ BDE 中∠EBD、∠EDB 的角*分线的交点,则∠OAB=________; (1)请你完成①②,并选择其中的一个证明你的结论; (2)如图 3,D 为 AC 延长线上的一点,以 BD 为边作等边△BDE(点 B、D、E 按顺时针顺序),点 O 为△ BDE 中与∠EBD、∠EDB 相邻的两个外角*分线的交点.完成图 3,猜想∠OAB 度数(直接写出结论, 不需要证明)

A

A

D

D

A

B

C

O

E
图1

O

C

B

E

图2

B

C

图3

D

十一、如图,已知 C 为线段 AB 上的一点,分别以 AC,BC 为边在 AB 的同侧作等边△ACD 和等边△BCE,连

接 AE,BD 交于点 O. (1)求证:AE=BD; (2)求∠AOB 的度数;

D OE

(3)连结 OC,求证:OC *分∠AOB;

A

C

B

(4)设 AE、CD 交于点 P,BD、CE 交于点 Q,试判断△CPQ 的形状,并证明你的结论; D

E

P

Q

A

C

B

(5)求证:OC+OD=OA;(OC+OE=OB)

D OE

A

C

B

(6)若 M、N 分别为 AE、BD 的中点,试判断△CMN 的形状,并证明你的结论; D

NE M

A

C

B

十一、已知:如图,以△ABC 的边 AB、AC 为边,分别在△ABC 外作等边△ABD、等边△ACE.

(1)求证:BE=CD; (2)求∠BOC 的度数;

D A

(3)求证:AO *分∠DOE;
E

O

(4)求证:①AO+BO=DO;(AO+CO=EO)

B D

C A

E

O

B

C

(5)若 P 为 CD 的中点,Q 为 BE 的中点,求证:△APQ 为等边三角形.

D A

E P
Q

B

C

十二、如图,等边△ABC,动点 P 从 B 点出发,沿射线 AB 方向运动,同时另一个动点 Q 从 C 点出发,以相 同的速度沿射线 CA 方向运动(当 Q 点到达 A 点时运动随之停止),连结 PQ 交 BC 于点 M.
(1)试问:在 P、Q 两点的运动过程中,点 M 与线段 PQ 是否 存在某种特定的位置关系?证明你的结论;
(2)如图,AD⊥BC 于点 D,过 M 作 MN⊥PQ 交 AD 的延长线于 N 点.在 P、Q 两点的运动时,试问 DN 的 AD
值是否发生变化?若不改变,请求出其值;若改变,请说明理由.

第十八讲:专题五:全等、等腰三角形综合运用(一)

等腰三角形与角度计算

第一部分【能力提高】

1.在△ABC 中,AB=AC,BD *分∠ABC,∠BDC=75°,则∠A=( ).

(A)10° (B)20° (C)30°

(D)40°

2.如图,在△ABC 中,∠C=90°,D 为 AC 上一点,AD=BD,∠DBC=20°,则∠A=( ).

3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 45°,则顶角的度数是( ).

(A)45° (B)135° (C)45°或 135°

(D)67.5°

4.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAD=30°,AE=AD,则∠CDE=( ).

(A)7.5° (B)10° (C)15°

(D)30°

5.如图,△ABC,AB=AC,∠A=50°,P 为△ABC 内任意一点,且∠PBC=∠PCA,则∠BPC=( ).

(A)100° (B)115° (C)130°

(D)140°

6.如图,在△ABC 中,AB=AC,D 为 BC 上一点,且 DA=DB,CA=CD,则∠BAC=( ).

A

A

A

D

E

P

A

BD

C

(第 2 题图)

(第 4 题图)

(第 5 题图)

(第 6 题图)

7.如图,在等腰 Rt△ABC 中,∠A=90°,D 为 BC 的中点,E、F 分别在 AB、AC 上,且 AE=CF,则∠EDF=( ).

8.如图,在△ABC 中,∠A=70°,D 为 BC 上任意一点,CD=CF,BD=BE,则∠EDF=( ).

9.如图,在等边△ABC 中,D 为 BC 上一点,AD=AE,∠DAE=80°,∠BAD=15°,则∠CDE=( ).

(A)35° (B)25° (C)15°

(D)30°

10.如图,在△ABC 中,AB=AC,D 为 BC 上一点,BD=CF,CD=BE,∠A=50°,则∠EDF=( ).

A

A

A

A

E

F

E

F

E

F

E

B

D CB

DC

BD

C

B

DC

(第 7 题图)

(第 8 题图)

(第 9 题图)

(第 10 题图)

11.如图,在△ABC 中,AB=AC,CD *分∠ACB,∠ADC=105°,则∠ABC=( ).

12.如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,BA=BE,CD=CA,则∠DAE=( ).

13.如图,在△ABC 中,AB=AC,E、D 分别在 AB、AC,BC=BD,AD=DE=EB,则∠A=( ).

(A)30° (B)45° (C)60°

(D)22.5°

14.如图,在△ABC 中,AB=AC,CD⊥AB,∠ABC 的*分线交 CD 于 E 点,则∠BEC=( ).

(A)135A°-

1 4

∠A

(B)135°+ 1 ∠A
A4

D

B D EC

B

C

(C)90A°+

1 2

∠A

D E

B

C

(D)180°-
A

1 2

∠A

DE

B

C

(第 11 题图) (第 12 题图)

(第 13 题图)

(第 14 题图)

15.如图,在△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC 于 D 点,CE=CA,AE=BE,则∠DAE=( ).

16.如图,AB=AC=AD,∠BAC=70°,则∠BDC=( ).

(A)20° (B)30° (C)35°

(D)40°

17.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠ABM=∠CBN,MN=BN,则∠MBC=( ). A

A

M

A

B ED

C

D

B

C

N

B

C

(第 15 题图)

(第 16 题图)

(第 17 题图)

18.如图,在钝角△ABC 中,∠A<∠B<∠C,∠A、∠C 的外角*分线交对边延长线于 D、E 两点,AD=AC=EC,

则∠BAC=( ).

19.如图,在等边△ABC 中,D、E 分别在 BC、AC 上,BD=CE,BE、AD 交于 F 点,则∠AFE=( ).

20.如图,AB=BC=CD,EC=ED=EF,∠A =25°,则∠FEG=( ).

(A)85°
D

(B)80°

C

A

BE

(第 18 题图)

(C)75° A (D)70°
FE BD C
(第 19 题图)

DF B A CE
(第 20 题图)

第二部分【综合运用】
如图,在锐角△ABC 中,∠A=α °,D 为 BC 上一点,且 DB=DE,DC=DF,则∠EDF=( ). A

E

F

B

D

C

【探究一】:点 D 在 BC 上,∠A=α °,则∠EDF=( ).

当∠ABC 为钝角 A
F

当∠ACB 为钝角 A
E

当∠BAC 为钝角
F AE

B

D

E

B C

D

C

B

D

C

F

【探究二】:点 D 在 BC 的延长线上,∠A=α °,则∠EDF=( ).

当△ABC 为锐角三角形

当∠ACB 为钝角

E

E

A A

F

B

CD

F

B

CD

当∠ABC 为钝角 A
CD B
F E

当∠BAC 为钝角 E

A

D

B

C

F

【探究三】:点 D 在 BC 的反向延长线上,∠A=α °,则∠EDF=( ).

当△ABC 为锐角三角形

当∠ACB 为钝角

F

A

A

D

B

C

DB C
E

当∠ABC 为钝角
F A

E

DB

C

当∠BAC 为钝角
F

A

D

B

C

E

第十九讲:专题六:全等、等腰三角形综合运用(二)
第一部分【能力提高】 一、如图,BD=CD,∠B=∠C,求证:AD *分∠BAC.
A

D

B

C

二、如图,Rt△ABC,∠C=90°,AB 的垂直*分线交 AC 于点 D,连结 BD,BD *分∠ABC.

(1)求证:△ADE≌△BDC;(2)求∠A 的度数.

A

A F

DB

C

E

A

DB

C

E

F

E D

B

C

三、如图,在△ABC 中,AB=2BC,∠B=2∠A,求证:△ABC 为直角三角形. A

B

C

四、如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AD *分∠BAC,DE⊥AB,F 为 AC 上一点,DF=DB,求证:CF=BE.

C D
F

A

E

B

第二部分【综合运用】
五、如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,D 是斜边 AB 上任意一点,AE⊥CD 于点 E,BF⊥CD 交 CD 的延 长线于点 F,CH⊥AB 于点 H,交 AE 于点 G,求证:BD=CG.

C

GE

D

A

H

B

F

六、如图,在△ABC 中, ∠BAC 的*分线与 BC 的垂直*分线 PQ 相交于点 P,过点 P 分别作 AB、AC(或它们 的延长线)的垂线, 垂足分别为 N、M, 求证:BN=CM. N

B

P

Q

A

MC

七.如图,△ABC 中,∠A=50°,AB>AC,D、E 分别在 AB、AC 上,且 BD=CE,∠BCD=∠CBE,若 BE、CD 相

交于 O 点,求∠BOC 的度数.

A

D

E

O

B

C

八、如图,AB⊥BC,EC⊥BC,D 在 BC 上,AD=DE,AB=a,CE=b,∠ADB=75°,∠EDC=45°,求 BD 的长.(用

含 a、b 的代数式表示)

A

E

BD

C

九、如图,正方形 ABCD 中,E、F 分别为 BC、CD 上的两点,∠EAF=45°.

(1)求证:BE+DF=EF;(若正方形的连长为 a,则△CEF 的周长等于 2a)

(2)求证:AE *分∠BEF;AF *分∠DFE; (3)作 AH⊥EF,求证:AH=AB.

A

D

45?

F

BE

C

十、如图,正方形 ABCD 中,E 为 BC 边上一点,沿直线 AE 折叠正方形 ABCD,使点 B 落在形内的点 H,延长

EH 交 CD 于点 F. (1)求证:∠EAF=45°;

A

D

(2)求证:BE+DF=EF;

(3)求证:AF *分∠DFE.

F

H

BE

C

十一、探索与猜想: (1)如图 1,等腰 Rt△ABC 和等腰 Rt△ADE,∠ACB=∠ADE=90°,D 点在 AB 上,E 点在 AC 上,P 为

BE 的中点,则线段 PD、PC 是否存在某种确定的数量关系和位置关系?请写出你的结论(不需

要证明); (2)若将图 1 中的等腰 Rt△ADE 绕 A 点逆时针旋转 45°得到图 2(此时点 E 在 AB 上),其它条件不

变,试问:线段 PD、PC 是否存在某种确定的数量关系和位置关系?写出你的结论并证明;

B

B

P

P D

D E

A

EC

图1

A

C

图2

(3)若将图 1 中的等腰 Rt△ADE 绕 A 点顺时针任意旋转一个角度得到图 3(此时点 E 在 AC 的下方), 其它条件不变,试问:线段 PD、PC 是否存在某种确定的数量关系和位置关系?请你完成图 3,
B

写出你的结论并证明;

第二十讲:专题七:综合题题型专题训练

一、如图,等腰 Rt△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,BD *分∠ABC.

(1)求证:AB+AD=BC;

A

D

B

C

(2)如图,过点 C 作 CE⊥BD,E 为垂足,求证:BD=2CE; B

A E
D
C

(3)如图,连结 AE,求证:AE=CE.

A E
D

B

C

二、如图,等腰 Rt△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,D 为 AC 上的任意一点,AE⊥BD 于点 E,CF⊥BD 于点 F. (1)求证:①AE=EF;②EF+CF=BE; A

DF

E

B

C

(2)如图,若 D 为 AC 延长线(或反向延长线)上的任意一点,其它条件不变,线段 EF、CF 与线段 BE

是否存在某种确定的数量关系?写出你的结论并证明;

A

B E

C D
F

D

E

A

F

B

C

三、 如图,△ABC,分别以 AB、AC 为腰向形外作两个等腰直角△ABE、△ACF,过 A 作直线 l ,直线 l 分

别交 BC、EF 于 N、M 两点. (1)当直线 l ⊥BC 时,求证:ME=MF;

(2) 当直线 l 经过 BC 的中点 N 时,求证: l ⊥EF;

(3) 如图,若梯形 ABCD,AD∥BC,分别以 AB、DC 为腰向形外作两个等腰直角△ABE、△ACF,设线段 AD 的垂直*分线 ? 交线段 EF 于点 M,求证:ME=MF.

E

M

F

A

D

BN C

四、如图,在等边Δ CBN 中,点 M 为 BN 上一点,且∠CMA=60°,AN∥BC 交 AM 于 A.

(1)判断△ACM 的形状,并证明你的结论;

A

N

M

C

B

(2)试问:线段 AN+MN 与 CN 是否存在某种确定的数量关系?试证明你的猜想;

A

N

M

C

B

(3)若点 M 为 BN 的延长线上任一点(不包括 N 点),(1)、(2)②中的结论还成立吗?请画出图形,并 证明你的猜想.
M N

C

B




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